Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Пример Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 6 и параболоидом x2 + y2 = z.
Решение.

Определим сначала линию пересечения поверхностей. Подставляя уравнение параболоида в уравнение сферы, находим:
     
Второй корень z2 = −3 соответствует пересечению сферы с нижней полостью параболоида. Этот случай мы не рассматриваем. Таким образом, перечение тел происходит при z = 2. Очевидно, что проекция области интегрирования на плоскость Oxy имеет вид окружности (рисунок 8), заданной уравнением x2 + y2 = 2.
Рис.8
Рис.9
Сверху область интегрирования ограничена сферической поверхностью, а снизу − параболоидом (рисунок 9). Объем данной области выражается интегралом
     
Удобно перейти к цилиндрическим координатам:
     
где ρ2 = x2 + x2 и интеграл включает якобиан ρ. Получаем:
     
Заменим ρ2 = t. Здесь t = 0 при ρ = 0, и, соответственно, t = 2 при ρ = √2.

Окончательно вычисляем объем тела:
     

  Пример 8 Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом  z = 2 − x2 − y2 и конической поверхностью
.


Решение.
Исследуем сначала пересечение двух заданных поверхностей. Приравнивая координаты z, получаем уравнение
     
Пусть x2 + y2 = t2. Тогда
     
В контексте данной задачи смысл имеет лишь корень t = 1, то есть
     
Итак, обе поверхности пересекаются при z = 1, и сечение представляет собой круг (рисунок 10)
Рис.10
Рис.11
Область интегрирования сверху ограничена параболоидом , а снизу − конусом (рисунок 11). Для вычисления объема области перейдем к цилиндрическим координатам:
     
В результате находим
     

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

. Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥ имеет вид


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла