Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Пример Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0 (рисунок 4).


Решение.
Уравнение плоскости x + y + z = 5 можно переписать в виде
     
Если положить z = 0, то получим
     
Рис.4
Рис.5
Следовательно, область интегрирования D в плоскости Oxy ограничена прямой y = 5 − x, как показано на рисунке 5.

Объем тетраэдра будет равен

     

   Пример 5

Найти объем области, ограниченной двумя параболоидами:

     
Рис.6
Рис.7

Решение.
Исследуем пересечение двух параболоидов (рисунок 6). Поскольку ρ2 = x2 + y2, то уравнения параболоидов записываются в виде
     
Полагая z1 = z2 для линии пересечения, получаем
     
Этому значению ρ (рисунок 7) соответствует координата z, равная
     
Объем данной области выражается с помощью тройного интеграла в виде
     
В цилиндрических координатах интеграл равен

     

  Пример 6 Вычислить объем эллипсоида

     

Решение.
Объем эллипсоида удобно вычислить используя обобщенные сферические координаты. Пусть
     
Поскольку модуль якобиана при трансформации декартовых координат в обобщенные сферические координаты равен
     
то, следовательно,
     
Объем эллипсоида выражается через тройной интеграл:
     
В силу симметрии эллипсоида, мы найдем объем 1/8 его части, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. При этом обобщенные сферические координаты будут изменяться в пределах:
     
Итак, объем эллипсоида равен
     

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

. Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥ имеет вид


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла