Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

В цилиндрических координатах объем тела равен
В сферических координатах, соответственно, используется формула

Пример 1 Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 2).


Решение.
Рис.1
Конус ограничен поверхностью и плоскостью z = H (рисунок 1). В декартовых координатах его объем выражается формулой
     
Вычислим этот интеграл в цилиндрических координатах, которые изменяются в пределах
     
Получаем (не забудем включить в интеграл якобиан ρ):
     
Находим объем конуса:

     

Пример 2 Найти объем шара x2 + y2 + z2 ≤ R2.


Решение.
Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем
     
В результате получена известная формула для объема шара радиусом R.

Пример 3 Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями, проходящими через точки A (1;0;0), B (0;2;0), C (0;0;3), и координатными плоскостями Oxy, Oxz, Oyz (рисунок 2).

Рис.2
Рис.3

Решение.
Уравнение прямой AB в плоскости Oxy (рисунок 3) имеет вид: y = 2 − 2x. При этом переменная x изменяется в интервале 0 ≤ x ≤ 1, а переменная y − в интервале 0 ≤ y ≤ 2 − 2x.

Составим теперь уравнение плоскости ABC в отрезках. Поскольку плоскость ABC отсекает отрезки 1, 2, 3, соответственно, на осях Ox, Oy и Oz, то ее уравнение имеет вид:
     
В общем виде уравнение плоскости ABC записывается как
     
Следовательно, пределы интегрирования по переменной z изменяются в промежутке от z = 0 до . Теперь можно вычислить объем заданного тетраэдра:

     

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

. Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥ имеет вид


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла