Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

В цилиндрических координатах объем тела равен
В сферических координатах, соответственно, используется формула

Пример 1 Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 2).


Решение.
Рис.1
Конус ограничен поверхностью и плоскостью z = H (рисунок 1). В декартовых координатах его объем выражается формулой
     
Вычислим этот интеграл в цилиндрических координатах, которые изменяются в пределах
     
Получаем (не забудем включить в интеграл якобиан ρ):
     
Находим объем конуса:

     

Пример 2 Найти объем шара x2 + y2 + z2 ≤ R2.


Решение.
Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем
     
В результате получена известная формула для объема шара радиусом R.

Пример 3 Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями, проходящими через точки A (1;0;0), B (0;2;0), C (0;0;3), и координатными плоскостями Oxy, Oxz, Oyz (рисунок 2).

Рис.2
Рис.3

Решение.
Уравнение прямой AB в плоскости Oxy (рисунок 3) имеет вид: y = 2 − 2x. При этом переменная x изменяется в интервале 0 ≤ x ≤ 1, а переменная y − в интервале 0 ≤ y ≤ 2 − 2x.

Составим теперь уравнение плоскости ABC в отрезках. Поскольку плоскость ABC отсекает отрезки 1, 2, 3, соответственно, на осях Ox, Oy и Oz, то ее уравнение имеет вид:
     
В общем виде уравнение плоскости ABC записывается как
     
Следовательно, пределы интегрирования по переменной z изменяются в промежутке от z = 0 до . Теперь можно вычислить объем заданного тетраэдра:

     

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

. Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥ имеет вид


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла