Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы Кликните и купите хоккейные гамаши и другую экипировку быстро, недорого.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Первообразная и неопределённый интеграл

В этом подразделе рассматривается задача отыскания функции, для которой заданная функция является производной.

Пусть D – конечный или бесконечный промежуток числовой оси, т. е. интервал, полуинтервал или отрезок, и на D определены функции f и F.

Функция F называется первообразной функцией (или, короче, первообразной) функции f на промежутке D, если F дифференцируема на D и в каждой точке этого промежутка производная функции F равна значению функции f:

 . (35.1)

Функция, имеющая в данной точке производную, непрерывна в этой точке (односторонне непрерывна, если речь идет об односторонней производной), поэтому первообразная F функции f непрерывна на промежутке D.

Пример. Функция  является первообразной функции  на всей числовой оси.

Первообразная любой функции, как это было отмечено, непрерывна. Функция же, у которой существует первообразная, не обязательно непрерывна, например, у разрывной функции

 

на всей числовой оси существует первообразная

 

Лемма 1. Две дифференцируемые на промежутке D функции F и F являются первообразными одной и той же функции в том и только том случае, когда они отличаются на постоянную:

 .

Здесь и в дальнейшем C – произвольная постоянная.

Доказательство. Если F – первообразная функция f, т. е. , то и функция F+C является первообразной той же функции f, так как .

Если F и F – первообразные для одной и той же функции f, т. е. , то , значит, согласно следствию 1 теоремы Лагранжа, разность  – постоянная на промежутке D. □

Пусть функция f определена на некотором промежутке. Совокупность всех её первообразных на этом промежутке называется неопределённым интегралом от функции f и обозначается

 .

Символ ò называется знаком интеграла, а  – подынтегральной функцией.

Если F – какая-либо первообразная функции f на рассматриваемом промежутке, то пишут

 . (35.2)

Следует иметь в виду, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределённые интегралы, есть равенство между множествами.

Если F – какая-либо первообразная функции f на промежутке D, то, согласно формуле (35.2), под знаком интеграла стоит дифференциал функции F:

 .

По определению будем считать, что этот дифференциал под знаком интеграла можно записывать в любом из указанных видов, т. е. согласно этому соглашению

 .

35.2. Основные свойства интеграла

Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке D.

1. Если функция F дифференцируема на некотором промежутке, то на нём   или, что то же самое, .

Это сразу следует из определения неопределённого интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал которых стоит под знаком интеграла.

2. Пусть функция f имеет первообразную на промежутке D, тогда для всех  имеет место равенство

 . (35.3)

Отметим, что в этом равенстве под интегралом  понимается произвольная первообразная F функции f. Поэтому равенство (35.3) можно записать в виде

 ,

справедливость последнего равенства следует из того, что F – первообразная f.

3. Если функции f1 и f2 имеют первообразные на промежутке D, то и функция f1+f2 имеет первообразную на этом промежутке, причём

 . (35.4)

Свойство интеграла, выражаемое формулой (35.4), называется аддитивностью интеграла относительно функций.

Доказательство. Пусть F1 и F2 – первообразные соответственно функций f1 и f2, т. е. в каждой точке  выполняются равенства  . Положим ; тогда функция F является первообразной для функции f1+f2, так как

 .

Следовательно, интеграл  состоит из функций , а сумма интегралов . Поскольку C, C1 и C2 – произвольные постоянные, оба эти множества, т. е. левая и правая части равенства (4), совпадают. □

4. Если функция f имеет первообразную на промежутке D и k – число, то функция kf также имеет на D первообразную, причём при k¹0 справедливо равенство

 . (35.5)

Доказательство. Пусть F – первообразная функции f, т. е. . Тогда функция kF является первообразной функции kf на промежутке D при любом kΡ, так как . Поэтому интеграл  состоит из всевозможных функций вида , а интеграл  – из всевозможных функций . В силу произвольности постоянной C, при условии , обе совокупности функций совпадают. Это и означает справедливость равенства (35.5). □

Следствие (линейность интеграла). Если функции f1 и f2 имеют первообразные на промежутке D, а l1 и l2 – числа, то функция l1f1+l2f2 также имеет первообразную на D, причём при  выполняется равенство

 .

Это непосредственно следует из свойств (35.3) и (35.4).

35.3. Табличные интегралы

Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции, называемая интегрированием, является действием, обратным дифференцированию, т. е. операции нахождения по данной функции её производной. Поэтому всякая формула, выражающая производную той или иной функции, т. е. формула вида , может быть обращена (записана в виде интегральной формулы)

 .

Используя это соображение, запишем таблицу значений ряда неопределённых интегралов, получающуюся непосредственно из соответствующей таблицы производных элементарных функций.

1. .

Если число a таково, что степень   имеет смысл и для всех x £ 0, то формула 1 справедлива на любом промежутке.

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

Пример. Вычислить интеграл .


НАХОЖДЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Интегрирование подстановкой

Теорема 1. Пусть функции  и  определены соответственно на промежутках Dx и Dt, причём . Если функция f имеет на Dx первообразную  и, следовательно, , а функция j дифференцируема на Dt, то функция  имеет на Dt первообразную  и

 . (36.1)

Доказательство. Функции f и F определены на промежутке Dx, и так как, по условию теоремы, справедливо включение , то имеют смысл сложные функции  и . При этом так как

 ,

то по правилу дифференцирования сложной функции получим

 .

Это и означает, что функция  имеет в качестве одной из своих первообразных функцию . Отсюда, согласно определению интеграла, следует, что

 . (36.2)

Подставив же в формулу (6) , получим

 . (36.3)

В формулах (36.2) и (36.3) равны правые части, значит, равны и левые, т. е. имеет место равенство (36.1). □

Формула (36.1) называется формулой интегрирования подстановкой.

Пример. Вычислить интегралы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Замечание. Для проверки результата, полученного при вычислении неопределённого интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого интеграла.

36.2. Интегрирование по частям

Теорема 2. Если функции  и  дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нём существует и интеграл , причём

 . (36.4)

Доказательство. Пусть функции  и  дифференцируемы на промежутке D, тогда по правилу дифференцирования произведения для всех точек этого промежутка имеет место равенство

 ,

поэтому .

Интеграл от каждого слагаемого правой части существует, так как

 ,

а интеграл  существует по условию теоремы. Поэтому существует и интеграл , причём

 . (36.5)

Подставляя в правую часть (10)  вместо  и относя произвольную постоянную C к интегралу  получим формулу (9). □

Пример. Вычислить интегралы:

1. .

2. .

Интегрирование рациональных функций

Переходим к изучению вопроса об интегрировании рациональных функций вида , где  – некоторые многочлены.

Назовём дробь такого вида неправильной, если степень многочлена   больше либо равна степени многочлена . Так как из неправильной рациональной дроби можно исключить целую часть, интегрирование которой не представляет трудностей, то достаточно заняться интегрированием правильных дробей (у которых степень числителя меньше степени знаменателя).

Из них мы остановимся здесь на так называемых простых дробях; это будут дроби следующих четырех типов:

 ,

где   – вещественные числа; кроме того, предполагается, что трёхчлен  не имеет действительных корней, так что .

Дроби I и II интегрируются элементарно при помощи замены переменной:

 ,

 .

Рассмотрим теперь интеграл от дроби III. Замечая, что , и полагая , имеем

 

 

 .

Для интеграла IV выведем рекуррентное соотношение. Полагая, как и выше, , подобным же образом получим

 . (36.6)

Первый из этих интегралов вычисляется сразу:

 .

Второй же интеграл правой части равенства (36.6) вычисляется несколько сложнее. Пусть

 

Проинтегрируем интеграл  по частям, положив  и, следовательно, , а затем, добавив и вычтя  в числителе получившейся под знаком интеграла функции и произведя деление так, как это указано ниже, получим

 

 ,

т. е.

 ,

откуда

  (36.7)

Интеграл   легко вычисляется; формула (36.7) позволяет вычислить ; зная же , по той же формуле можно найти значение , продолжая этот процесс дальше, можно найти выражение для любого интеграла  (m = 1, 2, ...).

В курсе алгебры доказывается, что любая дробь вида  может быть представлена в виде линейной комбинации дробей I-IV. Поэтому из результатов этого пункта непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 1. Неопределённый интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, где знаменатель дроби не обращается в нуль, существует и выражается через элементарные функции, являясь алгебраической суммой суперпозиций рациональных дробей, арктангенсов и натуральных логарифмов.

Интегрирование трансцендентных функций

Рассмотрим универсальный приём, применяемый для вычисления интегралов вида . Сделаем подстановку , которая сводит исходный интеграл к интегралу от рациональной дроби. Имеем

 ,

 ,

 ,

поэтому

 .

Этот приём называется универсальная тригонометрическая подстановка.

«Математический анализ» наряду с «Линейной алгеброй и аналитической геометрией» является базовым для изучения на втором и последующих курсах таких дисциплин, как «Дифференциальные уравнения», «Численные методы», «Уравнения математической физики», «Дополнительные главы анализа», «Функциональный анализ» и ряда других. Автор надеется, что использование данного конспекта лекций и книг из предложенного библиографического списка поможет студентам 1-го курса лучше усвоить предмет. А это, в свою очередь, сделает более простым и интересным процесс дальнейшего обучения данной специальности.

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

. Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥ имеет вид


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла