Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Лекция

О правилах Лопиталя

Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил Лопиталя, мы изложим в этом пункте.

Неопределённости вида

Теорема 14. Пусть функции f и g, определённые на отрезке , таковы, что в некоторой точке :

1) ;

2) существуют производные (односторонние производные, если x=a или x=b) , причём .

Тогда существует предел

  .

Доказательство. Поскольку обе функции дифференцируемы в точке x0, их приращения в окрестности этой точки описываются формулами:

  ,

 .

Отсюда, согласно условию 1, получим, что

  ,

 ,

поэтому

 . □

Теорема 15. Пусть функции  и :

1) дифференцируемы на интервале ;

2) ;

3)  для всех ;

4) существует конечный или бесконечный, равный +¥ или –¥, предел .

Тогда существует предел .

Доказательство. В силу условий теоремы, функции f и g не определены в точке a; доопределим их, положив . Теперь f и g непрерывны в точке a и удовлетворяют условиям теоремы Коши о среднем значении на любом отрезке , где a < x < b. Поэтому для каждого x, a < x < b, существует такое , что

 , (29.1)

причём .

Поэтому, если существует , то из правила замены переменного для пределов функций следует, что существует и . Теперь из (29.1) получаем

 . □

Теоремы 14 и 15 остаются верными с естественными видоизменениями как в случае одностороннего, так и двустороннего предела.

Теорема 16. Пусть функции f и g:

1) дифференцируемы при x > c;

2) ;

3)  для всех x>c;

4) существует конечный или бесконечный, равный +¥ или –¥, предел .

Тогда существует и предел .

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что c > 0 (если c < 0, то в качестве нового значения c возьмем, например, c = 1).

Выполним замену переменного . Функции  и  определены на интервале ; если x®+¥, то t®+0, и наоборот. На интервале  существуют производные

 ,

где штрихом обозначены производные функций f и g по первоначальному аргументу.

Из сказанного и условий теоремы следует, что функции j(t) и y(t) удовлетворяют на интервале  условиям 1), 2) и 3) теоремы 15. Покажем ещё, что из существования предела , который обозначим через k, следует существование предела  и равенство его k, т. е. что выполняется и
условие 4) теоремы 15. Действительно, используя полученные выражения для производных   и , находим

 .

Теперь из теоремы 15, применённой к функциям j(t) и y(t), следует, что . Но

 ,

где , поэтому

 . □

Эта теорема остается верной с соответствующим видоизменением и при x ® –¥.

29.3. Неопределённости вида

Теорема 17. Пусть функции  и :

1) дифференцируемы на интервале ;

2) ;

3)  на ;

4) существует конечный или бесконечный, равный +¥ или –¥, предел .

Тогда существует и предел

 .

Теорема 17 остаётся в силе с естественными видоизменениями и при
x ® b–0, x ® +¥ и x ®¥, а также в случае двусторонних пределов.

Контрольные вопросы

1. Для раскрытия какого вида неопределённостей используются правила Лопиталя?

2. Сформулируйте и докажите правила Лопиталя для функций дифференцируемых на отрезке.

3. Сформулируйте и докажите правила Лопиталя для функций дифференцируемых на интервале.


ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Вывод формулы Тейлора

Если функция  имеет в точке x0 производную, то приращение этой функции можно представить в виде

 ,

т. е. .

Иначе говоря, существует линейная функция

   (30.1)

такая, что

 .

Поставим более общую задачу. Пусть функция f имеет n производных в точке x0. Требуется выяснить, существует ли многочлен  степени не выше n такой, что

  , (30.2)

и .  (30.3)

Будем искать этот многочлен, по аналогии с формулой (30.1), в виде

  .

Замечая, что  из первого условия (30.3), имеем . Далее,

 ,

отсюда , и, как следует из (30.3), . Затем найдем вторую производную многочлена :

 .

Отсюда и из условия  получим  и вообще

 .

В силу самого построения, для многочлена

 

выполнены все соотношения (30.3). Проверим, удовлетворяет ли он условию (30.2).

Пусть .

Как было показано ранее, из существования у функции f производной порядка n в точке x0 следует, что все производные функции f до порядка n–1 включительно существуют и непрерывны в точке x0. Поэтому у функции  в точке x0 также существуют производные до порядка n, а в некоторой окрестности этой точки все производные до порядка n–1 включительно и они непрерывны в точке x0.

Из условия (30.3) следует, что

 .

В силу свойств производных функции , для раскрытия неопределённости при x®x0 можно применить правило Лопиталя:

  ,

т. е. действительно

 .

Итак, доказана следующая важная теорема.

Теорема 18. Пусть функция , определённая на интервале , имеет в точке  производные до порядка n включительно. Тогда при x®x0

  (30.4)

или .

Эта теорема остаётся справедливой вместе с её доказательством и для функции f, определённой на отрезке  при , если для x0=a и x0=b под производными понимать соответствующие односторонние производные.

Формула (30.4) называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Многочлен

  (30.5)

называется многочленом Тейлора степени n, а функция

 

– остаточным членом n-го порядка формулы Тейлора.

Приведём другой вид записи формулы (30.4). Положив , получим

 .

Если в формуле (30.4) x0 = 0, то получается частный вид формулы Тейлора, называемый обычно формулой Маклорена:

 .

Доказанная теорема позволяет любую функцию, удовлетворяющую условиям этой теоремы, заменить в окрестности некоторой точки многочленом с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем члены многочлена. Таким многочленом является многочлен Тейлора. Величина погрешности определяется при этом остаточным членом.

Следствие. Пусть функция  определена на интервале , и пусть в точке x0 она имеет производные до порядка n+1 включительно. Тогда

 . (30.6)

Доказательство. Действительно, в силу теоремы 18, при x®x0

 , (30.7)

и, поскольку при x®x0

  ,

из формулы (30.7) непосредственно следует формула (30.6). □

Замечание. Можно показать, что если функция  в некоторой окрестности точки x0 имеет производную порядка n, то, какова бы ни была точка x этой окрестности, найдётся такая точка x, лежащая между x0 и x, что для остаточного члена  формулы Тейлора функции  имеет место формула

  (форма Лагранжа),

  (форма Коши).

Контрольные вопросы

1. Запишите и докажите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (в форме Лагранжа, в форме Коши).

2. Запишите формулу Маклорена.

 

Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки

Докажем теперь единственность многочлена, обладающего свойством (30.2).

Теорема 19. Пусть функция f дифференцируема до порядка n включительно в точке x0, и пусть

  , (31.1)

где   – некоторый многочлен степени, меньшей или равной n. Тогда

 ,

т. е.  является многочленом Тейлора.

Таким образом, многочлен Тейлора является единственным многочленом, обладающим свойством (30.2), все остальные многочлены той же степени или меньшей «хуже приближают» функцию f при x®x0. Именно в этом смысле и говорят, что многочлен Тейлора является многочленом наилучшего приближения рассматриваемой функции в окрестности данной точки x0 при x®x0.

Доказательство. Из формул (30.4) и (31.1) следует, что

 ,

откуда, перейдя к пределу при x®x0, получим . Отбрасывая слева и справа этот член, сокращая оставшиеся в обеих частях выражения на множитель x–x0 (x¹x0) и замечая, что

 ,

где , следовательно, при x®x0 имеет место равенство

  ,

получим

 .

Переходя снова к пределу при x®x0, находим . Продолжая этот процесс, получаем

 . □

31.2. Разложение основных элементарных функций
по формуле Маклорена

Пример. Найти формулу Маклорена для функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

31.3. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора
(метод выделения главной части)

Формула Тейлора даёт простое и весьма общее правило для выделения главной части функции. В результате этого метод вычисления пределов функций с помощью выделения главной части приобретает законченный алгоритмический характер.

Рассмотрим сначала случай неопределённости вида . Пусть требуется найти предел , где . В этом случае рекомендуется разложить по формуле Тейлора функции f и g в окрестности точки x0 (если, конечно, это возможно), ограничившись в этом разложении лишь первыми не равными нулю членами, т. е. взять разложения в виде

 ,

 ,

тогда

 

Часто бывает удобно для разложения функций f и g по формуле Тейлора использовать готовый набор разложений элементарных функций. Для этого следует в случае x0¹0 предварительно выполнить замену переменного t=x–x0; тогда x®x0 будет соответствовать t®0. Случай x®¥ заменой переменного x=1/t сводится к случаю t®0.

Если имеется неопределённость вида , т. е. требуется найти , где , то её легко привести к рассмотренному случаю  преобразованием .

Подобно вычислению пределов с помощью правила Лопиталя, при применении метода выделения главной части к раскрытию неопределённостей вида  их следует преобразовать к неопределённости вида . Наконец, для раскрытия неопределённостей вида  указанным методом необходимо предварительно прологарифмировать рассматриваемые функции.

Пример. Вычислить пределы, используя формулу Тейлора:

1. .

2. .

3. .

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

. Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥ имеет вид


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла