Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Лекция

О правилах Лопиталя

Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил Лопиталя, мы изложим в этом пункте.

Неопределённости вида

Теорема 14. Пусть функции f и g, определённые на отрезке , таковы, что в некоторой точке :

1) ;

2) существуют производные (односторонние производные, если x=a или x=b) , причём .

Тогда существует предел

  .

Доказательство. Поскольку обе функции дифференцируемы в точке x0, их приращения в окрестности этой точки описываются формулами:

  ,

 .

Отсюда, согласно условию 1, получим, что

  ,

 ,

поэтому

 . □

Теорема 15. Пусть функции  и :

1) дифференцируемы на интервале ;

2) ;

3)  для всех ;

4) существует конечный или бесконечный, равный +¥ или –¥, предел .

Тогда существует предел .

Доказательство. В силу условий теоремы, функции f и g не определены в точке a; доопределим их, положив . Теперь f и g непрерывны в точке a и удовлетворяют условиям теоремы Коши о среднем значении на любом отрезке , где a < x < b. Поэтому для каждого x, a < x < b, существует такое , что

 , (29.1)

причём .

Поэтому, если существует , то из правила замены переменного для пределов функций следует, что существует и . Теперь из (29.1) получаем

 . □

Теоремы 14 и 15 остаются верными с естественными видоизменениями как в случае одностороннего, так и двустороннего предела.

Теорема 16. Пусть функции f и g:

1) дифференцируемы при x > c;

2) ;

3)  для всех x>c;

4) существует конечный или бесконечный, равный +¥ или –¥, предел .

Тогда существует и предел .

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что c > 0 (если c < 0, то в качестве нового значения c возьмем, например, c = 1).

Выполним замену переменного . Функции  и  определены на интервале ; если x®+¥, то t®+0, и наоборот. На интервале  существуют производные

 ,

где штрихом обозначены производные функций f и g по первоначальному аргументу.

Из сказанного и условий теоремы следует, что функции j(t) и y(t) удовлетворяют на интервале  условиям 1), 2) и 3) теоремы 15. Покажем ещё, что из существования предела , который обозначим через k, следует существование предела  и равенство его k, т. е. что выполняется и
условие 4) теоремы 15. Действительно, используя полученные выражения для производных   и , находим

 .

Теперь из теоремы 15, применённой к функциям j(t) и y(t), следует, что . Но

 ,

где , поэтому

 . □

Эта теорема остается верной с соответствующим видоизменением и при x ® –¥.

29.3. Неопределённости вида

Теорема 17. Пусть функции  и :

1) дифференцируемы на интервале ;

2) ;

3)  на ;

4) существует конечный или бесконечный, равный +¥ или –¥, предел .

Тогда существует и предел

 .

Теорема 17 остаётся в силе с естественными видоизменениями и при
x ® b–0, x ® +¥ и x ®¥, а также в случае двусторонних пределов.

Контрольные вопросы

1. Для раскрытия какого вида неопределённостей используются правила Лопиталя?

2. Сформулируйте и докажите правила Лопиталя для функций дифференцируемых на отрезке.

3. Сформулируйте и докажите правила Лопиталя для функций дифференцируемых на интервале.


ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Вывод формулы Тейлора

Если функция  имеет в точке x0 производную, то приращение этой функции можно представить в виде

 ,

т. е. .

Иначе говоря, существует линейная функция

   (30.1)

такая, что

 .

Поставим более общую задачу. Пусть функция f имеет n производных в точке x0. Требуется выяснить, существует ли многочлен  степени не выше n такой, что

  , (30.2)

и .  (30.3)

Будем искать этот многочлен, по аналогии с формулой (30.1), в виде

  .

Замечая, что  из первого условия (30.3), имеем . Далее,

 ,

отсюда , и, как следует из (30.3), . Затем найдем вторую производную многочлена :

 .

Отсюда и из условия  получим  и вообще

 .

В силу самого построения, для многочлена

 

выполнены все соотношения (30.3). Проверим, удовлетворяет ли он условию (30.2).

Пусть .

Как было показано ранее, из существования у функции f производной порядка n в точке x0 следует, что все производные функции f до порядка n–1 включительно существуют и непрерывны в точке x0. Поэтому у функции  в точке x0 также существуют производные до порядка n, а в некоторой окрестности этой точки все производные до порядка n–1 включительно и они непрерывны в точке x0.

Из условия (30.3) следует, что

 .

В силу свойств производных функции , для раскрытия неопределённости при x®x0 можно применить правило Лопиталя:

  ,

т. е. действительно

 .

Итак, доказана следующая важная теорема.

Теорема 18. Пусть функция , определённая на интервале , имеет в точке  производные до порядка n включительно. Тогда при x®x0

  (30.4)

или .

Эта теорема остаётся справедливой вместе с её доказательством и для функции f, определённой на отрезке  при , если для x0=a и x0=b под производными понимать соответствующие односторонние производные.

Формула (30.4) называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Многочлен

  (30.5)

называется многочленом Тейлора степени n, а функция

 

– остаточным членом n-го порядка формулы Тейлора.

Приведём другой вид записи формулы (30.4). Положив , получим

 .

Если в формуле (30.4) x0 = 0, то получается частный вид формулы Тейлора, называемый обычно формулой Маклорена:

 .

Доказанная теорема позволяет любую функцию, удовлетворяющую условиям этой теоремы, заменить в окрестности некоторой точки многочленом с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем члены многочлена. Таким многочленом является многочлен Тейлора. Величина погрешности определяется при этом остаточным членом.

Следствие. Пусть функция  определена на интервале , и пусть в точке x0 она имеет производные до порядка n+1 включительно. Тогда

 . (30.6)

Доказательство. Действительно, в силу теоремы 18, при x®x0

 , (30.7)

и, поскольку при x®x0

  ,

из формулы (30.7) непосредственно следует формула (30.6). □

Замечание. Можно показать, что если функция  в некоторой окрестности точки x0 имеет производную порядка n, то, какова бы ни была точка x этой окрестности, найдётся такая точка x, лежащая между x0 и x, что для остаточного члена  формулы Тейлора функции  имеет место формула

  (форма Лагранжа),

  (форма Коши).

Контрольные вопросы

1. Запишите и докажите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (в форме Лагранжа, в форме Коши).

2. Запишите формулу Маклорена.

 

Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки

Докажем теперь единственность многочлена, обладающего свойством (30.2).

Теорема 19. Пусть функция f дифференцируема до порядка n включительно в точке x0, и пусть

  , (31.1)

где   – некоторый многочлен степени, меньшей или равной n. Тогда

 ,

т. е.  является многочленом Тейлора.

Таким образом, многочлен Тейлора является единственным многочленом, обладающим свойством (30.2), все остальные многочлены той же степени или меньшей «хуже приближают» функцию f при x®x0. Именно в этом смысле и говорят, что многочлен Тейлора является многочленом наилучшего приближения рассматриваемой функции в окрестности данной точки x0 при x®x0.

Доказательство. Из формул (30.4) и (31.1) следует, что

 ,

откуда, перейдя к пределу при x®x0, получим . Отбрасывая слева и справа этот член, сокращая оставшиеся в обеих частях выражения на множитель x–x0 (x¹x0) и замечая, что

 ,

где , следовательно, при x®x0 имеет место равенство

  ,

получим

 .

Переходя снова к пределу при x®x0, находим . Продолжая этот процесс, получаем

 . □

31.2. Разложение основных элементарных функций
по формуле Маклорена

Пример. Найти формулу Маклорена для функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

31.3. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора
(метод выделения главной части)

Формула Тейлора даёт простое и весьма общее правило для выделения главной части функции. В результате этого метод вычисления пределов функций с помощью выделения главной части приобретает законченный алгоритмический характер.

Рассмотрим сначала случай неопределённости вида . Пусть требуется найти предел , где . В этом случае рекомендуется разложить по формуле Тейлора функции f и g в окрестности точки x0 (если, конечно, это возможно), ограничившись в этом разложении лишь первыми не равными нулю членами, т. е. взять разложения в виде

 ,

 ,

тогда

 

Часто бывает удобно для разложения функций f и g по формуле Тейлора использовать готовый набор разложений элементарных функций. Для этого следует в случае x0¹0 предварительно выполнить замену переменного t=x–x0; тогда x®x0 будет соответствовать t®0. Случай x®¥ заменой переменного x=1/t сводится к случаю t®0.

Если имеется неопределённость вида , т. е. требуется найти , где , то её легко привести к рассмотренному случаю  преобразованием .

Подобно вычислению пределов с помощью правила Лопиталя, при применении метода выделения главной части к раскрытию неопределённостей вида  их следует преобразовать к неопределённости вида . Наконец, для раскрытия неопределённостей вида  указанным методом необходимо предварительно прологарифмировать рассматриваемые функции.

Пример. Вычислить пределы, используя формулу Тейлора:

1. .

2. .

3. .

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

. Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥ имеет вид


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла