Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Лекция
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически

Теорема 8. Пусть функция  непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0, и пусть при x=x0 существуют производные  и , причём ; тогда и обратная функция  имеет вторую производную в точке , причём она может быть выражена через значения производных  и .

Доказательство. Опуская, как и выше, обозначения аргумента, имеем . Вычисляя производную по y от обеих частей и применяя к правой части правило дифференцирования сложной функции, получаем

 . □

Пусть функции  и  определены в некоторой окрестности точки t0 и одна из них, например , непрерывна и строго монотонна в указанной окрестности; тогда существует обратная к   функция , и в некоторой окрестности точки   имеет смысл композиция . Эта функция y от x и называется параметрически заданной формулами  функцией.

Выведем формулы для дифференцирования параметрически заданных функций.

Теорема 9. Если функции  и  имеют в точке t0 производные и если , то параметрически заданная функция  также имеет в точке   производную, причём

 .  (26.1)

Если, кроме того, существуют , то существует и , причём

 . (26.2)

Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции имеем (опуская обозначение аргумента)

 ,

а по правилу дифференцирования обратной функции

 .

Объединяя две последних формулы, получаем формулу (26.1).

Аналогичным образом доказывается формула (26.2):

 . □

Вычисление производных более высокого порядка параметрически заданных функций осуществляется по той же схеме.

Пример. Вычислить первую и вторую производные от функции

 .

26.2. Дифференциалы высших порядков

В настоящем пункте для удобства будем иногда вместо символа дифференцирования d писать букву d, т. е. вместо dy, dx писать dy, dx.

Пусть функция  дифференцируема на некотором интервале . Как известно, её дифференциал

  ,

который называется также её первым дифференциалом, зависит от двух переменных: x и dx. Пусть функция , в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке . Тогда дифференциал в этой точке функции dy, рассматриваемой как функция только от x (т. е. при некотором фиксированном dx), если для его обозначения использовать символ d, имеет вид

 .

Значение дифференциала , т. е. дифференциала от первого дифференциала, в некоторой точке x0 при dx=dx называется вторым дифференциалом функции f в этой точке и обозначается через , т. е.

 .

Здесь и далее .

Подобным же образом в том случае, когда производная (n–1)-го порядка , дифференцируема в точке x0 или, что эквивалентно, когда при x=x0 существует производная n-го порядка , определяется дифференциал n-го порядка  функции  в точке x0 как дифференциал  от дифференциала (n–1)-го порядка , в котором dx=dx:

 .

Можно показать, что для всех  справедлива формула

 ,

т. е. .

Свойства дифференциалов высших порядков аналогичны свойствам производных высших порядков:

 ,

 ,

 .

Лекция
ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Теорема Ферма

В терминах производных оказывается удобным описывать различные свойства функций. Прежде всего, укажем характеристическое свойство точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Напомним, что если функция  определена на некотором множестве X, то говорят, что она принимает в точке x0 наибольшее (наименьшее) значение на множестве X, если для всех точек  выполняется неравенство  (неравенство ).

Если для всех  и  выполняется неравенство  (неравенство ), то говорят, что в точке x0 функция  принимает строго наибольшее (строго наименьшее) значение на множестве X.

Точки, в которых функция принимает значения (строгого) максимума или минимума, называются точками (строгого) экстремума.

Теорема 10 (теорема Ферма). Пусть функция определена на некотором промежутке и в некоторой внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда если в этой точке существует конечная производная, то эта производная равна нулю.

Доказательство. Пусть функция  определена в окрестности U(x0) точки x0 и принимает для определённости при x = x0 наибольшее значение, т. е. для всех  выполняется неравенство . Тогда если x < x0,

 , (27.1)

а если x > x0, то

 . (27.2)

По условию теоремы в точке x0 существует конечный предел, поэтому, переходя в неравенствах (21) и (22) к пределу при x ® x0, получим соответственно  и . Следовательно, . □

Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, что если при x = x0 дифференцируемая функция f принимает наибольшее (наименьшее) значение на некоторой окрестности точки x0, то касательная к графику функции в точке (x0, f(x0)) параллельна оси Ox.

Замечание. Если функция  принимает наибольшее (наименьшее) значение при x = x0 по сравнению с её значениями в точках, лежащих по одну сторону от точки x0, и имеет в x0 соответствующую одностороннюю производную, то эта производная может быть не равна нулю. Так, например, функция , рассматриваемая на отрезке , принимает при x = 0 минимальное, а при x = 1 – максимальное значение, однако как в той, так и в другой точке производная равна единице.

Пример. Найти наименьшее значение функций   на отрезке . Справедлива ли теорема Ферма в этих точках?

27.2. Теорема Ролля

Теорема 11 (теорема Ролля). Пусть функция f:

1) непрерывна на отрезке ;

2) имеет в каждой точке интервала  конечную производную;

3) принимает равные значения на концах отрезка, т. е. .

Тогда существует хотя бы одна такая точка x, a < x < b, что .

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что на графике функции, удовлетворяющей условиям теоремы Ролля, имеется, по крайней мере, одна точка, в которой касательная горизонтальна.

Доказательство. Если для любой точки  выполняется равенство , то функция f является постоянной на этом интервале и поэтому для любой точки  выполняется условие .

Пусть существует точка , для которой , например, . Согласно теореме Вейерштрасса о достижимости непрерывной на отрезке функцией своих наибольшего и наименьшего значений, существует такая точка , в которой функция f принимает наибольшее значение. Тогда

 .

Поэтому x ¹ a и x ¹ b, т. е. точка x принадлежит интервалу  и функция f принимает в ней наибольшее значение. Следовательно, согласно теореме Ферма выполняется равенство . □

Из теоремы Ролля следует, что если функция непрерывна на некотором отрезке, обращается в нуль на его концах и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует его внутренняя точка, в которой производная обращается в нуль. Короче говоря, между двумя нулями дифференцируемой функции всегда лежит хотя бы один нуль её производной.

Замечание. Заметим, что все три условия теоремы Ролля существенны. Чтобы в этом убедиться, достаточно привести примеры функций, для которых выполнялись бы два из трёх условий теоремы, третье же не выполнялось бы и у которых не существует точки x такой, что .

Функция

 

удовлетворяет условиям 2 и 3, но не удовлетворяет условию 1.

Функция  удовлетворяет условиям 1 и 3, но не удовлетворяет условию 2.

Наконец, функция  удовлетворяет условиям 1 и 2, но не удовлетворяет условию 3.

Для всех этих функций не существует точки, в которой их производная обращалась бы в нуль.

Теорема Лагранжа

Теорема 12 (теорема Лагранжа). Если функция f непрерывна на отрезке   и в каждой точке интервала  имеет конечную производную, то в этом интервале существует, по крайней мере, одна такая точка x, что

 . (28.1)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

  (28.2)

и определим число l так, чтобы , т. е. чтобы . Это равносильно тому, что

  . (28.3)

Для функции F выполняются все условия теоремы Ролля. Действительно, функция  непрерывна на отрезке , а функция , будучи линейной, непрерывна на всей числовой оси; поэтому и функция  также непрерывна на отрезке . Функция  имеет в каждой точке интервала  конечную производную, а функция  – конечную производную во всех точках числовой оси, поэтому их разность  также имеет всюду в интервале  конечную производную. Наконец, на концах отрезка , в силу выбора l, функция F принимает одинаковые значения. Поэтому существует хотя бы одна такая точка x (a < x < b), что . Из (28.2) получаем , поэтому . Подставив сюда l из (28.3), получим

 . □ (28.4)

Замечание 1. Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем. Пусть   – концы графика функции , AB – хорда, соединяющая точки A и B. Тогда отношение  равно тангенсу угла b между хордой AB и осью Ox, т. е.

 ,

а , где a – угол между касательной к графику функции  в точке  и осью Ox. Поэтому равенство (28.4) может быть переписано в виде . Таким образом, теорема Лагранжа показывает, что в интервале  должна найтись точка x (может быть, и не одна: на рисунке условию теоремы удовлетворяют точки x' и x''), в которой касательная к графику параллельна хорде AB.

Замечание 2. Приведём другие формы записи формулы (28.1). Пусть a < x < b и . Тогда

 . (28.5)

Наоборот, если x выражается формулой (28.5), то, как легко видеть, a<x<b. Таким образом, в виде (28.5) могут быть представлены все точки интервала  и только они. Поэтому формула (28.1) может быть записана в виде

 . (28.6)

Положим теперь ; тогда (28.6) можно переписать в виде

 . (28.7)

Формулу (28.7), а также каждую из равнозначных ей формул (28.1) и (28.6) называют формулой конечных приращений Лагранжа или просто формулой конечных приращений.

Отметим два следствия из теоремы Лагранжа, полезные для дальнейшего.

Следствие 1. Если функция f непрерывна на некотором промежутке (конечном или бесконечном) и во всех его внутренних точках имеет производную, равную нулю, то функция постоянна на этом промежутке.

Доказательство. Пусть функция f непрерывна на промежутке с концами a и b, , и дифференцируема в его внутренних точках. Выберем на этом промежутке произвольно точки x1 и x2 так, что x1<x2; тогда, очевидно, функция f является непрерывной на отрезке  и дифференцируемой на интервале . Поэтому, по теореме Лагранжа,

 . (28.8)

По условию  на , в частности, , так как . Таким образом, из формулы (28.8) следует, что , а поскольку x1 и x2 – произвольные точки рассматриваемого промежутка, то это и означает, что функция f постоянна на этом промежутке. □

Следствие 2. Если функции f и g непрерывны на некотором промежутке и во всех его внутренних точках имеют равные производные , то эти функции отличаются на рассматриваемом промежутке лишь на постоянную: , где C – константа.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Она удовлетворяет условиям следствия 1, т. е. F непрерывна на заданном промежутке и  во всех внутренних его точках. Поэтому , т. е. имеет место равенство . □

Теорема Коши

Теорема 13 (теорема Коши). Пусть функции f и g:

1) непрерывны на отрезке ;

2) имеют производные в каждой точке интервала ;

3)   во всех точках интервала .

Тогда существует такая точка x, a<x<b, что

 . (28.9)

Замечание. Заметим, что из условий теоремы следует, что формула (28.9) имеет смысл, т. е. . В самом деле, если , то функция g удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и, значит, нашлась бы такая точка x, что , a < x < b, что противоречило бы условию 3.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

 , (28.10)

где число l выберем таким образом, чтобы , т. е. чтобы . Для этого нужно взять

 . (28.11)

Функция F удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, следовательно, существует такая точка x, a < x < b, что . Но из (28.10) , поэтому , откуда следует, что

 .  (28.12)

Сравнив (28.11) и (28.12), получим формулу (28.9), обычно называемую формулой конечных приращений Коши. □

Отметим, что формула конечных приращений Лагранжа является частным случаем формулы конечных приращений Коши, в которой .

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

. Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥ имеет вид


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла