Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Лекция
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически

Теорема 8. Пусть функция  непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0, и пусть при x=x0 существуют производные  и , причём ; тогда и обратная функция  имеет вторую производную в точке , причём она может быть выражена через значения производных  и .

Доказательство. Опуская, как и выше, обозначения аргумента, имеем . Вычисляя производную по y от обеих частей и применяя к правой части правило дифференцирования сложной функции, получаем

 . □

Пусть функции  и  определены в некоторой окрестности точки t0 и одна из них, например , непрерывна и строго монотонна в указанной окрестности; тогда существует обратная к   функция , и в некоторой окрестности точки   имеет смысл композиция . Эта функция y от x и называется параметрически заданной формулами  функцией.

Выведем формулы для дифференцирования параметрически заданных функций.

Теорема 9. Если функции  и  имеют в точке t0 производные и если , то параметрически заданная функция  также имеет в точке   производную, причём

 .  (26.1)

Если, кроме того, существуют , то существует и , причём

 . (26.2)

Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции имеем (опуская обозначение аргумента)

 ,

а по правилу дифференцирования обратной функции

 .

Объединяя две последних формулы, получаем формулу (26.1).

Аналогичным образом доказывается формула (26.2):

 . □

Вычисление производных более высокого порядка параметрически заданных функций осуществляется по той же схеме.

Пример. Вычислить первую и вторую производные от функции

 .

26.2. Дифференциалы высших порядков

В настоящем пункте для удобства будем иногда вместо символа дифференцирования d писать букву d, т. е. вместо dy, dx писать dy, dx.

Пусть функция  дифференцируема на некотором интервале . Как известно, её дифференциал

  ,

который называется также её первым дифференциалом, зависит от двух переменных: x и dx. Пусть функция , в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке . Тогда дифференциал в этой точке функции dy, рассматриваемой как функция только от x (т. е. при некотором фиксированном dx), если для его обозначения использовать символ d, имеет вид

 .

Значение дифференциала , т. е. дифференциала от первого дифференциала, в некоторой точке x0 при dx=dx называется вторым дифференциалом функции f в этой точке и обозначается через , т. е.

 .

Здесь и далее .

Подобным же образом в том случае, когда производная (n–1)-го порядка , дифференцируема в точке x0 или, что эквивалентно, когда при x=x0 существует производная n-го порядка , определяется дифференциал n-го порядка  функции  в точке x0 как дифференциал  от дифференциала (n–1)-го порядка , в котором dx=dx:

 .

Можно показать, что для всех  справедлива формула

 ,

т. е. .

Свойства дифференциалов высших порядков аналогичны свойствам производных высших порядков:

 ,

 ,

 .

Лекция
ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Теорема Ферма

В терминах производных оказывается удобным описывать различные свойства функций. Прежде всего, укажем характеристическое свойство точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Напомним, что если функция  определена на некотором множестве X, то говорят, что она принимает в точке x0 наибольшее (наименьшее) значение на множестве X, если для всех точек  выполняется неравенство  (неравенство ).

Если для всех  и  выполняется неравенство  (неравенство ), то говорят, что в точке x0 функция  принимает строго наибольшее (строго наименьшее) значение на множестве X.

Точки, в которых функция принимает значения (строгого) максимума или минимума, называются точками (строгого) экстремума.

Теорема 10 (теорема Ферма). Пусть функция определена на некотором промежутке и в некоторой внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда если в этой точке существует конечная производная, то эта производная равна нулю.

Доказательство. Пусть функция  определена в окрестности U(x0) точки x0 и принимает для определённости при x = x0 наибольшее значение, т. е. для всех  выполняется неравенство . Тогда если x < x0,

 , (27.1)

а если x > x0, то

 . (27.2)

По условию теоремы в точке x0 существует конечный предел, поэтому, переходя в неравенствах (21) и (22) к пределу при x ® x0, получим соответственно  и . Следовательно, . □

Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, что если при x = x0 дифференцируемая функция f принимает наибольшее (наименьшее) значение на некоторой окрестности точки x0, то касательная к графику функции в точке (x0, f(x0)) параллельна оси Ox.

Замечание. Если функция  принимает наибольшее (наименьшее) значение при x = x0 по сравнению с её значениями в точках, лежащих по одну сторону от точки x0, и имеет в x0 соответствующую одностороннюю производную, то эта производная может быть не равна нулю. Так, например, функция , рассматриваемая на отрезке , принимает при x = 0 минимальное, а при x = 1 – максимальное значение, однако как в той, так и в другой точке производная равна единице.

Пример. Найти наименьшее значение функций   на отрезке . Справедлива ли теорема Ферма в этих точках?

27.2. Теорема Ролля

Теорема 11 (теорема Ролля). Пусть функция f:

1) непрерывна на отрезке ;

2) имеет в каждой точке интервала  конечную производную;

3) принимает равные значения на концах отрезка, т. е. .

Тогда существует хотя бы одна такая точка x, a < x < b, что .

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что на графике функции, удовлетворяющей условиям теоремы Ролля, имеется, по крайней мере, одна точка, в которой касательная горизонтальна.

Доказательство. Если для любой точки  выполняется равенство , то функция f является постоянной на этом интервале и поэтому для любой точки  выполняется условие .

Пусть существует точка , для которой , например, . Согласно теореме Вейерштрасса о достижимости непрерывной на отрезке функцией своих наибольшего и наименьшего значений, существует такая точка , в которой функция f принимает наибольшее значение. Тогда

 .

Поэтому x ¹ a и x ¹ b, т. е. точка x принадлежит интервалу  и функция f принимает в ней наибольшее значение. Следовательно, согласно теореме Ферма выполняется равенство . □

Из теоремы Ролля следует, что если функция непрерывна на некотором отрезке, обращается в нуль на его концах и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует его внутренняя точка, в которой производная обращается в нуль. Короче говоря, между двумя нулями дифференцируемой функции всегда лежит хотя бы один нуль её производной.

Замечание. Заметим, что все три условия теоремы Ролля существенны. Чтобы в этом убедиться, достаточно привести примеры функций, для которых выполнялись бы два из трёх условий теоремы, третье же не выполнялось бы и у которых не существует точки x такой, что .

Функция

 

удовлетворяет условиям 2 и 3, но не удовлетворяет условию 1.

Функция  удовлетворяет условиям 1 и 3, но не удовлетворяет условию 2.

Наконец, функция  удовлетворяет условиям 1 и 2, но не удовлетворяет условию 3.

Для всех этих функций не существует точки, в которой их производная обращалась бы в нуль.

Теорема Лагранжа

Теорема 12 (теорема Лагранжа). Если функция f непрерывна на отрезке   и в каждой точке интервала  имеет конечную производную, то в этом интервале существует, по крайней мере, одна такая точка x, что

 . (28.1)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

  (28.2)

и определим число l так, чтобы , т. е. чтобы . Это равносильно тому, что

  . (28.3)

Для функции F выполняются все условия теоремы Ролля. Действительно, функция  непрерывна на отрезке , а функция , будучи линейной, непрерывна на всей числовой оси; поэтому и функция  также непрерывна на отрезке . Функция  имеет в каждой точке интервала  конечную производную, а функция  – конечную производную во всех точках числовой оси, поэтому их разность  также имеет всюду в интервале  конечную производную. Наконец, на концах отрезка , в силу выбора l, функция F принимает одинаковые значения. Поэтому существует хотя бы одна такая точка x (a < x < b), что . Из (28.2) получаем , поэтому . Подставив сюда l из (28.3), получим

 . □ (28.4)

Замечание 1. Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем. Пусть   – концы графика функции , AB – хорда, соединяющая точки A и B. Тогда отношение  равно тангенсу угла b между хордой AB и осью Ox, т. е.

 ,

а , где a – угол между касательной к графику функции  в точке  и осью Ox. Поэтому равенство (28.4) может быть переписано в виде . Таким образом, теорема Лагранжа показывает, что в интервале  должна найтись точка x (может быть, и не одна: на рисунке условию теоремы удовлетворяют точки x' и x''), в которой касательная к графику параллельна хорде AB.

Замечание 2. Приведём другие формы записи формулы (28.1). Пусть a < x < b и . Тогда

 . (28.5)

Наоборот, если x выражается формулой (28.5), то, как легко видеть, a<x<b. Таким образом, в виде (28.5) могут быть представлены все точки интервала  и только они. Поэтому формула (28.1) может быть записана в виде

 . (28.6)

Положим теперь ; тогда (28.6) можно переписать в виде

 . (28.7)

Формулу (28.7), а также каждую из равнозначных ей формул (28.1) и (28.6) называют формулой конечных приращений Лагранжа или просто формулой конечных приращений.

Отметим два следствия из теоремы Лагранжа, полезные для дальнейшего.

Следствие 1. Если функция f непрерывна на некотором промежутке (конечном или бесконечном) и во всех его внутренних точках имеет производную, равную нулю, то функция постоянна на этом промежутке.

Доказательство. Пусть функция f непрерывна на промежутке с концами a и b, , и дифференцируема в его внутренних точках. Выберем на этом промежутке произвольно точки x1 и x2 так, что x1<x2; тогда, очевидно, функция f является непрерывной на отрезке  и дифференцируемой на интервале . Поэтому, по теореме Лагранжа,

 . (28.8)

По условию  на , в частности, , так как . Таким образом, из формулы (28.8) следует, что , а поскольку x1 и x2 – произвольные точки рассматриваемого промежутка, то это и означает, что функция f постоянна на этом промежутке. □

Следствие 2. Если функции f и g непрерывны на некотором промежутке и во всех его внутренних точках имеют равные производные , то эти функции отличаются на рассматриваемом промежутке лишь на постоянную: , где C – константа.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Она удовлетворяет условиям следствия 1, т. е. F непрерывна на заданном промежутке и  во всех внутренних его точках. Поэтому , т. е. имеет место равенство . □

Теорема Коши

Теорема 13 (теорема Коши). Пусть функции f и g:

1) непрерывны на отрезке ;

2) имеют производные в каждой точке интервала ;

3)   во всех точках интервала .

Тогда существует такая точка x, a<x<b, что

 . (28.9)

Замечание. Заметим, что из условий теоремы следует, что формула (28.9) имеет смысл, т. е. . В самом деле, если , то функция g удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и, значит, нашлась бы такая точка x, что , a < x < b, что противоречило бы условию 3.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

 , (28.10)

где число l выберем таким образом, чтобы , т. е. чтобы . Для этого нужно взять

 . (28.11)

Функция F удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, следовательно, существует такая точка x, a < x < b, что . Но из (28.10) , поэтому , откуда следует, что

 .  (28.12)

Сравнив (28.11) и (28.12), получим формулу (28.9), обычно называемую формулой конечных приращений Коши. □

Отметим, что формула конечных приращений Лагранжа является частным случаем формулы конечных приращений Коши, в которой .

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

. Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥ имеет вид


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла