Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Лекция
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Условие существования производственной сложной функции

Теорема 5. Пусть функция  имеет производную в точке x0, а функция  имеет производную в точке . Тогда сложная функция  также имеет производную при x = x0, причём

 . (24.1)

Следует обратить внимание на то, что утверждение о существовании в точке x0 производной сложной функции  содержит предположение о том, что рассматриваемая сложная функция имеет смысл, т. е. определена в некоторой окрестности точки x0.

Опуская значение аргумента и используя запись производной с помощью дифференциалов, равенство (24.1) можно переписать в виде

 .

Доказательство. Прежде всего, в силу самого определения производной, функция F определена в некоторой окрестности V(y0) точки y0, а так как из существования производной  следует непрерывность функции f, то для указанной окрестности V(y0) существует такая окрестность U(x0) точки x0, что , и, следовательно, для всех xÎU(x0) имеет смысл сложная функция .

Положим . Функция F имеет в точке y0 производную и поэтому дифференцируема в этой точке. Это означает, что её приращение Dz при всех Dy, принадлежащих некоторой окрестности точки y0, может быть представлено в виде

 ,

где e(Dy) – непрерывная в нуле функция и .

Разделив обе части последнего равенства на Dx¹0, получим

 . (24.2)

Функция   имеет производную в точке x0, т. е. существует предел

 . (24.3)

Из существования производной  следует непрерывность функции  в точке x0:

 .

При Dx = 0 имеем Dy = 0. Следовательно, приращение Dy, рассматриваемое как функция Dx, непрерывно в точке Dx=0. Поэтому, согласно правилу замены переменных в предельных соотношениях, содержащих непрерывные функции,

 . (24.4)

Теперь из (24.2), переходя к пределу при Dx®0 в силу (24.3) и (24.4), получим формулу (24.1). □

24.2. Инвариантность формы первого дифференциала функции

Следствие (инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной):

 . (24.5)

В этой формуле  является дифференциалом функции, а dx – дифференциалом независимой переменной.

Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на «дифференциал этой переменной» – независимо от того, является эта переменная, в свою очередь, функцией или независимой переменной.

Докажем это. По теореме 1 , отсюда, применив формулу (24.1) для производной сложной функции, получим , но , поэтому . □

24.3. Вычисление производных сложных функций

Пример. Пользуясь формулой (24.1), вычислить производную функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Пусть дифференцируемая функция  задана неявно уравнением . Дифференцируя тождество  как сложную функцию, можно вычислить производную .

Пример. Вычислить производную функции .

24.4. Гиперболические функции и их производные

Функции  называются соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.

Справедливы формулы

 ;

 .

Эти формулы напоминают соотношения между обычными (как их иногда называют, круговыми) синусом и косинусом. Для  имеется и ряд других соотношений, аналогичных соответствующим формулам для . Этим и объясняется название функций .

Частные , по аналогии с обычными синусами и косинусами, называют гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом соответственно.

Пример. Вычислить производную функций .

Лекция 25
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

25.1. Определение производных высших порядков

Пусть функция , определённая на интервале , имеет в каждой точке  производную  и пусть . Если при x = x0 у производной  функции  существует производная, то она называется второй производной (или производной второго порядка) функции f и обозначается  или .

Таким образом, . Аналогично определяется производная  любого порядка n=1, 2, ...: если существует производная  порядка n–1 (при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция , а под производной первого порядка – ), то, по определению, .

Вспоминая определение производной, определение n-й производной в точке x0 можно записать в виде предела:

 

Отметим, из предположения, что функция f имеет в точке x0 производную порядка n, отсюда следует, в силу определения последней, что в некоторой
окрестности точки x0 у функции f существует производная порядка n–1, а, следовательно, при n > 1 и все производные более низкого порядка k < n–1, в частности, сама функция определена в некоторой окрестности точки x0. При этом все производные, порядок которых меньше n–1, непрерывны в указанной окрестности, поскольку во всех её точках они имеют производную.

Всё сказанное здесь естественным образом переносится и на так называемые односторонние производные высшего порядка.

Функция называется n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка она имеет непрерывные производные до порядка n включительно (n = 1, 2, ...).

При этом на каком-либо конце рассматриваемого промежутка в том случае, когда этот конец принадлежит промежутку, под производными, как обычно, понимаются соответствующие односторонние производные.

Для того чтобы функция была n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, достаточно, чтобы она имела на нём непрерывную производную порядка n.

Пример. Вычислить n-ю производную функций  .

25.2. Производные высших порядков суммы
и произведения функций

Теорема 6. Пусть функции  и  имеют производные n-го порядка в точке x0; тогда функции  и  имеют производные n-го порядка в точке x0, причём

 ,

 . (25.1)

Здесь, как обычно,  – число сочетаний из n элементов по k.

Формулу (25.1) обычно называют формулой Лейбница.

Доказательство теоремы 6 проводится по индукции. Мы не будем на этом останавливаться.

Следствие. Если c – постоянная, а  – функция, имеющая производную n-го порядка в точке x0, то функция  также имеет производную порядка n при x = x0, причём

 .

Доказательство следует очевидным образом из n-кратного применения формулы (23.4) к функции cy.

Пример. Выписать формулу Лейбница при n = 1, 2, 3, 4.

25.3. Производные высших порядков от сложных функций

Теорема 7. Пусть функция  имеет вторую производную в точке x0, а  – вторую производную в точке . Тогда сложная функция  имеет при x = x0 вторую производную, причём

 .

Доказательство. Поскольку существуют производные  и , существуют также  и . Следовательно, функции  и  непрерывны в точках x0 и y0 соответственно. Поэтому в некоторой окрестности точки x0 определена сложная функция . Дифференцируя эту функцию и опуская для простоты обозначение аргумента, имеем ; дифференцируя ещё раз по x, получим

 . □

Аналогичным образом вычисляются, при соответствующих предположениях, и производные высших порядков сложной функции. Этот метод позволяет также доказывать существование и находить производные высших порядков от обратной функции.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение второй производной (n-й производной) функции в точке.

2. Выпишите формулу для вычисления биномиальных коэффициентов.

3. Выпишите формулу Лейбница.

4. Сформулируйте и докажите формулу для вычисления второй производной сложной функции.

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

. Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥ имеет вид


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла