Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Лекция

Геометрический смысл производной и дифференциала

Понятия производной и дифференциала функции в данной точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой точке. Чтобы выяснить эту связь, определим, прежде всего, касательную.

Пусть функция  определена на интервале (a, b) и непрерывна
в точке x0Î(a, b). Пусть , .

Проведём секущую M0M. Она имеет уравнение

  , (22.1)

где . (22.2)

Покажем, что при Dx ® 0 расстояние |M0M| от точки M0 до точки M стремится к нулю (в этом случае говорят, что точка M стремится к точке M0, и пишут M ® M0). Действительно, в силу непрерывности функции f, при x = x0 имеем . Следовательно, при Dx ® 0

.

Если существует конечный предел , то прямая, уравнение которой

 , (22.3)

получается из уравнения  при D® 0, называется касательной (наклонной касательной) к графику функции f
в точке (x0, y0).

Если , то прямая, уравнение которой

 ,  (22.4)

получается при Dx®0 из уравнения секущей, записанного в виде , называется вертикальной касательной к графику функции f в точке (x0, y0).

Прямые (22.3) и (22.4) называются предельными положениями прямой (22.1). В силу этого, данное выше определение касательной к графику функции можно перефразировать следующим образом.

Предельное положение секущей M0M при Dx®0, или, что то же, при M®M0, называется касательной к графику функции f в точке M0.

Заметим теперь, что, в силу равенства (22.2), существование конечного предела  означает существование конечной производной . Следовательно, если у функции f в точке x0 существует конечная производная, то уравнение касательной к графику функции в точке (x0, f(x0)) имеет вид

 . (22.5)

Если же , т. е. , то, в силу (22.2),  и, следовательно (см. (22.4)), уравнение касательной имеет вид x=x0.

Как известно из аналитической геометрии, коэффициент  в уравнении (22.5) равен тангенсу угла, который рассматриваемая прямая образует с положительным направлением оси Ox: , т. е. производная функции в некоторой точке равна тангенсу угла между касательной в соответствующей точке графика функции и осью абсцисс.

Второе слагаемое в правой части уравнения (22.5), т. е. выражение , является дифференциалом dy функции f в точке x0. Следовательно, в силу равенства (22.5), , где y – текущая ордината касательной. Таким образом, дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика функции.

Пример. Найти касательную к параболе  в точке с координатами (1, 1).

22.2. Физический смысл производной и дифференциала

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки x0. Воспользуемся, как и выше, обозначениями . Пусть для определённости Dx>0. Отношение , равное изменению переменной y на отрезке , отнесённому к единице измерения переменной x, естественно назвать значением средней скорости изменения y на отрезке  относительно x. При стремлении Dx к нулю, т. е. при стягивании отрезка  к точке x0, отношение  определяет значение средней скорости изменения переменной y относительно переменной x во всё меньшем и меньшем отрезке, содержащем точку x0. Все сказанное, конечно, справедливо и при Dx<0 для отрезка .

Предел , если он существует, т. е. производную , естественно поэтому назвать скоростью изменения переменной y относительно переменной x в точке x0.

На интерпретации производной как скорости изменения одной величины относительной другой и основано применение производной к изучению физических явлений.

Применение же дифференциала основано на том, что замена приращения функции её дифференциалом позволяет заменить любую дифференцируемую в точке x0 функцию линейной функцией в достаточно малой окрестности точки x0, т. е. считать, что процесс изменения зависимости переменной «в малом» происходит линейно относительно аргумента. Иначе говоря, можно считать, что изменение функции прямо пропорционально изменению аргумента или, как говорят, упомянутый процесс «в малом» происходит равномерно. Получающаяся при такой замене погрешность оказывается бесконечно малой более высокого порядка, чем приращение аргумента.

Пример. Найти мгновенную скорость материальной точки, закон движения которой описывается уравнением , в момент времени t0 = 2.

Лекция 23
ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

Теорема 3. Пусть функции  определены в окрестности точки x0Ρ и имеют в самой точке x0 производные, тогда и их сумма , произведение , а если , то и частное  имеют в точке x0 производные, причём

 , (23.1)

 , (23.2)

 . (23.3)

Следствие. Если функция  имеет производную в точке x0 и cΡ, то функция  также имеет в этой точке производную, причём

 . (23.4)

Доказательство теоремы. Пусть функции  определены в окрестности U(x0) точки x0,   . Для простоты записи будем иногда опускать обозначение аргумента, рассматривая при этом приращения функций только в точке x0.

Если y = y1 + y2, то

 ,

откуда при  получим

 .

Переходя здесь к пределу при Dx®0 и замечая, что в силу существования производных функций y1 и y2 в точке x0 предел правой части этого равенства существует и равен , получим, что существует и предел его левой части, и имеет место формула (23.1).

Если y = y1y2, то аналогичным образом будем последовательно иметь

 ,

 .

Из существования производной  следует непрерывность функции  в точке x0: ; кроме того, . Поэтому, перейдя к пределу при Dx®0, из полученного равенства имеем , т. е. формула (23.2) доказана.

Наконец, если  и , то

 .

Отсюда при Dx®0, вспомнив снова, что из существования производной следует непрерывность функции, и, следовательно, получим формулу (23.3).

Следствие 1 сразу вытекает из (23.2), если вспомнить, что . □

Пример. Вычислить производную функций .

23.2. Производная обратной функции

Теорема 4. Пусть функция  непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0 и пусть при x = x0 существует производная ; тогда обратная функция  имеет производную в точке , причём

 . (23.5)

т. е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Доказательство. Зафиксируем какую-нибудь окрестность точки x0, в которой функция f определена, непрерывна и строго монотонна, и будем рассматривать f только в этой окрестности. Тогда, как доказано ранее, обратная функция определена и непрерывна на некотором интервале, содержащем точку y0 и являющемся образом указанной выше окрестности точки x0. Поэтому если , то Dx®0 равносильно Dy®0 в том смысле, что  (для функции f) и  (для функции ).

Для любых  имеем . При Dx®0 (или, что то же, в силу сказанного выше, при Dy®0) предел правой части существует, значит, существует и предел левой части, причём

  .

Но , поэтому имеет место формула (12). □

Этой теореме можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Как известно, , где a – значение угла, образуемого касательной графика функции f в точке (x0, y0) с осью Ox, а , где b – значение угла, образованного той же касательной с осью Oy.

Очевидно, b = p/2–a, поэтому

 . (23.5)

Пример. Пользуясь формулой (23.6), вычислить производную функций .

Вычислить интеграл , проходимая в положительном направлении.

Решение. Внутри контура лежат пять особых точек, вне контура две: 3-полюс первого порядка, ¥- устранимая особая точка. Вычет в точке три будем считать по формуле для полюсов, вычет в ¥ вычислим по ряду Лорана.

. Разложение в ряд Лорана подынтегральной функции в окрестности ¥ имеет вид


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла