Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО КОШИ

Второе определение предела функции

Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши.

Сформулируем сначала определение конечного предела в конечной точке.

Число a называется пределом функции f в точке x0Ρ, если для любого e > 0 существует такое d = d(e)>0, что для всех x, удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство .

Такую формулировку определения предела функции называют формулировкой на «языке e-d».

Бесконечные пределы в точке x0 на языке e-d определяются следующим образом: +¥ (–¥) называется пределом функции f в точке , если для любого e>0 существует такое d = d(e) > 0 , что для всех x, удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство  ().

Аналогичным образом определяется предел функции в бесконечно удалённых точках.

Если функция f непрерывна в точке , то определение непрерывности в символической записи имеет вид:

 .

12.2. Эквивалентность двух определений предела функции

Перейдём теперь к сравнению определений предела функции по Гейне и по Коши.

Теорема 1. Первое и второе определения предела функции в точке прикосновения множества определения функции эквивалентны.

Доказательство. Докажем, что если функция имеет в некоторой точке предел по Гейне, то она имеет тот же самый предел в этой точке и по Коши. Пусть , x0 – точка прикосновения множества X и   в смысле первого определения предела функции.

Ограничимся здесь случаем конечных x0 и a. Допустим, что предел по Коши не совпадает с пределом по Гейне, т. е.

 . (12.1)

Возьмём . Выберем в каждой такой d-окрестности точки x0 элемент xn. Тогда, по построению, имеем последовательность . При этом, в силу (4), все элементы последовательности  лежат вне
e-окрестности точки a.

С другой стороны, поскольку  в смысле первого определения, то для любой последовательности  имеет место равенство . Согласно определению предела последовательности это означает, что для любой окрестности точки a, в частности и для выбранной выше e-окрестности, существует такой номер N, что для всех номеров n>N имеет место .

Полученное противоречие доказывает сделанное утверждение. □

Теперь докажем, что если функция имеет в некоторой точке предел в смысле второго определения, то она имеет в этой точке тот же самый предел и в смысле первого определения. Пусть  в смысле предела функции по Коши, , x0 – предельная точка множества X, и пусть . Покажем, что тогда , т. е. точка a является пределом функции f и в смысле определения предела функции по Гейне.

Зададим произвольную e-окрестность точки a. Тогда, по условию теоремы,

 . (12.2)

Для этой d-окрестности найдётся такой номер N, что для всех номеров n>N будет выполняться условие . Но тогда, в силу (5), имеем . Это и означает, что .

Если же x0 – изолированная точка множества X, то функция f непрерывна в этой точке (почему?) и имеет место равенство . □

12.3. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность

При изучении функций иногда оказывается полезным рассмотреть пределы их сужений на множествах, лежащих по одну сторону от точки, в которой рассматривается предел. Такие пределы называются односторонними пределами. Это понятие содержательно лишь тогда, когда действительно существуют указанные множества как с одной, так и с другой стороны от точки x0, в которой рассматривается предел. В том случае, если точка x0 является одной из бесконечностей ¥, +¥ или –¥, это заведомо невозможно. Поэтому в настоящем пункте в дальнейшем будем всегда предполагать, что x0 – действительное число: x0Ρ.

Пусть   и x0Ρ. Точка a называется пределом функции f слева (справа) при x®x0, если

 .

Для пределов слева и справа функции f по множеству Х\{х0} имеются специальные обозначения:  – предел слева,  – предел справа. Пределы слева и справа называются односторонними пределами.

Пример. Вычислить односторонние пределы функции  по проколотой окрестности точки x0 = 0.

Понятие предела слева (справа) при x®x0, как и вообще понятие предела в точке, содержательно только тогда, когда точка x0 является точкой прикосновения множества, по которому берётся предел.

Рассмотрим взаимосвязь между существованием предела функции в точке и существованием односторонних пределов функции в этой точке.

Теорема 2. Пусть функция  и x0 – точка прикосновения множества X. Тогда функция f имеет предел в точке x0, в том и только том случае, когда в этой точке у функции f существуют пределы как слева, так и справа, и они равны. В этом случае их общее значение и является пределом функции в точке x0.

Доказательство. В самом деле, пусть у функции f существует предел (по множеству X) в точке x0. Но тогда в этой точке тот же предел существует и у её сужения по любому множеству (см. лемму 1), т. е. существуют оба односторонних предела при x®x0 и они равны a:

 . (12.3)

Пусть, наоборот, в точке x0 выполняется условие (12.3). Это значит, что

 ,

 .

Выберем d = min(d1, d2). Все значения функции f из проколотой
d-окрестности точки x0 попадают в e-окрестность точки a, т. е. . □

Если один из односторонних пределов функции в некоторой точке совпадает со значением функции в этой точке, то такая функция называется односторонне непрерывной в рассматриваемой точке.


СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

Пусть XÌ¡, x0 – точка прикосновения множества X. Справедливы следующие свойства пределов функций.

Свойство 1. Если предел функции  в точке x0 существует, то он единственен.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. у функции   в точке x0 существуют два различных предела a1 и a2. Это означает, что для любой последовательности  имеют место равенства  и .

Выберем e-окрестности точек a1 и a2 так, чтобы они не пересекались. Тогда для последовательности xn найдутся такие номера N1 и N2, начиная с которых все элементы последовательности  принадлежат e-окрестностям точек a1 и a2 соответственно. Выбирая N=max(N1, N2), получаем, что при n>N все элементы последовательности  принадлежат одновременно e-окрестностям обеих точек, что невозможно. □

Свойство 2. Если функция  имеет в точке x0 конечный предел, то существует такая проколотая окрестность точки x0, что функция f ограничена на пересечении этой окрестности с множеством определения X функции f.

Доказательство. Пусть  – конечный предел. Тогда, согласно определению предела функции по Коши, для любого e>0 существует такое d = d(e)>0, что для всех x, удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство . В частности, можно подобрать d так, чтобы выполнялось неравенство . Отсюда и следует ограниченность функции f на указанном множестве. □

Свойство 3. Если функции  и  таковы, что , то найдётся проколотая окрестность точки x0, на пересечении которой с множеством X выполнено неравенство f(x) < g(x).

Доказательство. Возьмём число c такое, что a < c < b. По определению предела найдутся проколотые окрестности точки x0, на пересечении которых с множеством X имеют место неравенства . Выбирая наименьшую из этих окрестностей, имеем:

  . □

Свойство 4. Пусть . Тогда, если f(x) > g(x), то
a ³ b; если f(x) ³ g(x), то a ³ b.

Свойство 4 выводится из свойства 3 методом от противного.

Свойство 5. Если , и существуют конечные или определённого знака бесконечные пределы , то .

Свойство 6. Если существуют пределы функций , то справедливы формулы:

 ,

 ,

 .

Последняя из формул справедлива в предположении, что b ¹ 0.

Свойства 5–6 могут быть доказаны одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах пределов последовательностей.

Пример. Доказать, что  (первый замечательный предел).

Вычислить интеграл , С={x2 +y2 =2x}, проходимый в положительном направлении.

Решение. Контур представляет собой окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Корни знаменателя подынтегральной функции лежат на единичной окружности и на биссектрисах первого-третьего и второго-четвертого углов. Внутрь контура C попадают два из них, лежащих в правой полуплоскости . Остальные два   лежат вне области.


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла