Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Лекция
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО ГЕЙНЕ

Первое определение предела функции

Перейдём теперь к изучению одного из самых основных понятий математического анализа – понятию предела функции. Под «точками» будем понимать либо конечные точки, либо бесконечно удалённые, т. е. либо действительные числа, либо одну из бесконечностей ¥, +¥ или –¥. Дадим сначала определение предела функции в терминах пределов последовательностей. Это определение часто называют определением предела функции по Гейне.

Точка a называется пределом функции  в точке x0 (или, что то же, при x®x0), если для любой последовательности xnÎX, имеющей своим пределом точку x0, т. е. такой, что

 ,

последовательность  имеет своим пределом точку a, т. е.

 .

В том случае, когда a является пределом функции f в точке x0, пишут  или  при .

Определение предела при заданной функции  содержательно только тогда, когда для точки x0 действительно существуют последовательности точек xnÎX, имеющие своим пределом (конечным или бесконечным) точку x0: .

Пусть XÌ¡. Точка x0, для которой существует последовательность xnÎX, имеющая своим пределом точку x0, называется точкой прикосновения множества X.

Очевидно, что любая точка x0, принадлежащая самому множеству X, является его точкой прикосновения, так как стационарная последовательность x0 = xnÎX удовлетворяет условиям данного определения: . Но, безусловно, у множеств могут существовать и конечные точки прикосновения, не принадлежащие этим множествам. Так, например, точки x=a и x=b являются точками прикосновения интервала (a, b) и не содержатся в нём.

Примеры. 1. Вычислить: .

2. Показать, что не существует предела функции .

3. Вычислить: .

10.2. Предел функции по подмножеству

При рассмотрении пределов функции часто приходится иметь дело с пределами сужений функций на том или ином множестве, т. е. с пределами функций, получающихся из данных функций, рассмотрением их не на всём множестве, на котором они заданы, а на каком-то содержащемся в нём.

Пусть . Предел в точке x0 сужения , функции f на множество E называется пределом функции f по множеству E в этой точке и обозначается через

 .

Понятие предела функции по множеству в точке x0 содержательно только для такого множества Е, для которого точка x0 является его точкой прикосновения (в этом случае она является и точкой прикосновения множества X).

Пример. Вычислить предел функции Дирихле в точке x0=0 по множествам .

Лемма 1. Если , x0 – точка прикосновения множества Е и существует предел  функции f в точке x0 (т. е. предел по множеству X), то в этой точке существует и предел функции f по множеству Е и значения обоих пределов равны:

 .

Доказательство. Если для любой последовательности  все последовательности  имеют один и тот же предел a, то это заведомо верно и для любой последовательности , так как EÌX. □

Отметим один часто встречающийся случай предела функции в точке, когда предел берётся по проколотой окрестности (она определена ниже) этой точки или по пересечению проколотой окрестности с множеством определения рассматриваемой функции.

Проколотой e-окрестностью точки x0 называется множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству .

Пример. Вычислить предел функции  по проколотой окрестности точки x0 = 0 и по всей окрестности точки x0 = 0.

Рассмотренный пример показывает, что одна и та же функция может по одному множеству иметь предел в некоторой точке, а по другому – не иметь предела в той же точке.


НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

11.1. Критерий существования предела функции в точке

Прежде чем перейти к определению непрерывных функций, рассмотрим следующую лемму.

Лемма 2. Пусть  и x0ÎX. Тогда, для того чтобы функция f имела предел в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы

 . (11.1)

Доказательство. Достаточность. Достаточность условия (2) для существования предела функции f в точке x0 очевидна: это условие даже сильнее, так как оно утверждает не только существование предела, но и определяет его значение, равное f(x0).

Необходимость. Пусть у функции f в точке x0 существует предел, равный a:

 .

Согласно определению предела это означает, что для любой последовательности , справедливо равенство

 .

В частности, поскольку x0ÎX, это равенство справедливо и для стационарной последовательности, составленной из одной точки x0, т. е. для последовательности xn = x0. В этом случае

  .

С другой стороны, поскольку предел постоянной равен самой этой постоянной, имеем

 .

Сравнивая два последних равенства, получаем f(x0) = a. □

11.2. Непрерывные функции

Дадим теперь определение функции, непрерывной в данной точке. Функция   называется непрерывной в точке x0ÎX, если

 . (11.2)

Условие (11.2) означает, что в случае непрерывности функции f в точке x0 предел в этой точке находится по очень простому правилу: следует вычислить значение самой функции f в точке x0.

Согласно лемме 2, условие (11.2) равносильно тому, что функция   имеет предел в точке x0 и что x0ÎX.

Само собой разумеется, что в том случае, когда для функции  предел  равен одной из бесконечностей ¥, +¥ или –¥ заведомо x0ÏX. В противном случае для стационарной последовательности xn=x0, имело бы место , и так как, по условию, функция f принимает только числовые значения, то вопреки предположению предел  был бы конечным. Из сказанного следует, в частности, что если у функции в некоторой точке существует бесконечный предел, то в ней функция заведомо не является непрерывной.

Для проведения анализа понятия непрерывности функции в точке дадим определения изолированных и предельных точек множеств.

Точка x0ÎX называется изолированной точкой множества XÌ¡, если существует окрестность этой точки, пересечение которой с множеством X состоит только из одной точки x0.

Пример. Все точки множества натуральных чисел ¥ изолированы, а множество ¤ всех рациональных чисел не имеет изолированных точек.

Точка  называется предельной точкой множества XÌ¡, если в любой её окрестности существует отличная от неё точка, принадлежащая множеству X.

Иначе говоря, точка x0 называется предельной точкой множества X, если всякая её проколотая окрестность имеет с этим множеством непустое пересечение.

Замечание. Предельная точка множества может как принадлежать самому множеству, так и не принадлежать. Например, каждая точка отрезка  является предельной точкой интервала . При этом точки a и b не принадлежат указанному интервалу, а все остальные содержатся в нём.

Очевидно, что всякая точка прикосновения x0 множества является либо изолированной точкой этого множества, либо его предельной точкой.

Справедливо следующее предложение.

Лемма 3. Всякая функция непрерывна в каждой изолированной точке множества своего определения.

Доказательство. Пусть x0 – изолированная точка множества определения X функции f. Тогда, согласно определению, существует окрестность точки x0, пересечение которой с множеством X состоит из единственной точки x0. Какова бы ни была последовательность , для указанной окрестности, в силу определения предела последовательности, существует такой номер N, что для всех номеров n>N элементы последовательности xn принадлежат этой окрестности точки x0. Но поскольку других элементов множества X в рассматриваемой окрестности нет, имеем xn=x0. Это означает, что, начиная с номера N+1, последовательность  становится стационарной:  при n>N. Поэтому существует предел , что, в силу произвольного выбора последовательности , означает выполнение условия (3), т. е. непрерывность функции f в точке x0. □

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте и докажите критерий существования предела функции в точке.

2. Дайте определение функции непрерывной в точке.

3. Дайте определения изолированной и предельной точки множества.

4. Докажите, что любая функция непрерывна в изолированной точке своей области определения.

Вычислить интеграл , С={x2 +y2 =2x}, проходимый в положительном направлении.

Решение. Контур представляет собой окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Корни знаменателя подынтегральной функции лежат на единичной окружности и на биссектрисах первого-третьего и второго-четвертого углов. Внутрь контура C попадают два из них, лежащих в правой полуплоскости . Остальные два   лежат вне области.


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла