Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Лекция
Предел монотонной ограниченной последовательности

Переходим к изучению вопроса о том, какими свойствами должна обладать последовательность, чтобы у неё существовал предел. Прежде чем сформулировать окончательный ответ, рассмотрим один простой и важный класс последовательностей, для которых этот вопрос решается легко.

Последовательность xn называется возрастающей (неубывающей), если

 .

Последовательность xn называется убывающей (невозрастающей), если

 .

В первом случае говорят, что последовательность «монотонно возрастает», во втором – что она «монотонно убывает». В целом последовательности такого вида называют монотонными.

Теорема 7 (теорема Вейерштрасса). Пусть дана монотонно возрастающая последовательность xn. Если она ограничена сверху:

  ,

то имеет конечный предел, в противном случае – стремится к +¥.

Точно так же, всегда имеет предел и монотонно убывающая последовательность xn. Её предел конечен, если она ограничена снизу:

 ,

в противном же случае её пределом служит –¥.

Доказательство. Ограничимся случаем монотонно возрастающей последовательности xn (случай монотонно убывающей последовательности рассматривается аналогично).

Допустим сначала, что эта последовательность ограничена сверху. Тогда, по теореме 2 пункта 3.2, для множества {xn} её значений должна существовать (конечная) точная верхняя грань:

 ,

покажем, что именно число a и будет пределом последовательности xn.

Во-первых, для всех значений n

 . (6.1)

Во-вторых, какое бы ни взять число e>0, найдётся такой номер N, что

 .

Это следует из того, что число a–e уже не ограничивает множество {xn} и неравенство (3) не может выполняться для всех n.

С другой стороны, ввиду монотонности нашей последовательности (здесь мы впервые на это опираемся), при n > N будет xn ³ xN, т. е.

 ,

и для этих значений номера n выполняются неравенства

  ,

откуда и следует, что .

Пусть теперь последовательность xn не ограничена сверху. Тогда, сколь велико ни было бы число E > 0, найдется хоть одно значение нашей переменной, которое больше E; пусть это будет xN: xN > E. Ввиду монотонности последовательности xn для n > N

 ,

а это и означает, что . □

Замечание. Легко понять, что все заключения остаются в силе и для переменной, которая, лишь начиная с некоторого места, становится монотонной (ибо – без влияния на предел переменной – любое число первых её значений можно отбросить).

Пример. 1. Вычислить .

2. Показать, что  – сходящаяся последовательность.

6.2. Лемма о вложенных отрезках

Рассмотрим ещё одно утверждение о пределе монотонных последовательностей.

Лемма 3. Пусть даны монотонно возрастающая последовательность xn и монотонно убывающая последовательность yn, причём всегда

 .  (6.2)

Если их разность yn–xn стремится к 0, то обе последовательности имеют общий конечный предел.

Доказательство. В силу монотонности при всех значениях n имеем: yn £ y1, а значит, ввиду (4), и xn < y1. Возрастающая последовательность xn оказывается ограниченной сверху, следовательно, она имеет конечный предел

 .

Аналогично для убывающей переменной yn будем иметь yn>xn³x1, поэтому она тоже стремится к конечному пределу

 .

По теореме 4 имеем

 ,

так что c1=c. □

Доказанному утверждению можно придать другую форму, в которой оно чаще применяется.

Лемма 4. Пусть имеется бесконечная последовательность вложенных один в другой отрезков

  ,

причём длины этих отрезков стремятся к 0 с возрастанием n:

 .

Тогда концы an и bn отрезков (с разных сторон) стремятся к общему пределу

 ,

который представляет единственную точку, общую всем отрезкам.

Доказательство. Согласно условию

 ,

так что левый конец an и правый конец bn n-го отрезка играют здесь роль монотонных последовательностей xn и yn.

Так как an стремится к c возрастая, а bn – убывая, то для всех n имеем

 ,

т. е. точка c, действительно, принадлежит всем нашим отрезкам. В то же время другой, отличной от c, точки c1 с тем же свойством быть не может, ибо иначе мы имели бы

  ,

и длина n-го отрезка не могла бы стремиться к нулю. □

Вычислить интеграл , С={x2 +y2 =2x}, проходимый в положительном направлении.

Решение. Контур представляет собой окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Корни знаменателя подынтегральной функции лежат на единичной окружности и на биссектрисах первого-третьего и второго-четвертого углов. Внутрь контура C попадают два из них, лежащих в правой полуплоскости . Остальные два   лежат вне области.


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла