Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Лекция
Предел монотонной ограниченной последовательности

Переходим к изучению вопроса о том, какими свойствами должна обладать последовательность, чтобы у неё существовал предел. Прежде чем сформулировать окончательный ответ, рассмотрим один простой и важный класс последовательностей, для которых этот вопрос решается легко.

Последовательность xn называется возрастающей (неубывающей), если

 .

Последовательность xn называется убывающей (невозрастающей), если

 .

В первом случае говорят, что последовательность «монотонно возрастает», во втором – что она «монотонно убывает». В целом последовательности такого вида называют монотонными.

Теорема 7 (теорема Вейерштрасса). Пусть дана монотонно возрастающая последовательность xn. Если она ограничена сверху:

  ,

то имеет конечный предел, в противном случае – стремится к +¥.

Точно так же, всегда имеет предел и монотонно убывающая последовательность xn. Её предел конечен, если она ограничена снизу:

 ,

в противном же случае её пределом служит –¥.

Доказательство. Ограничимся случаем монотонно возрастающей последовательности xn (случай монотонно убывающей последовательности рассматривается аналогично).

Допустим сначала, что эта последовательность ограничена сверху. Тогда, по теореме 2 пункта 3.2, для множества {xn} её значений должна существовать (конечная) точная верхняя грань:

 ,

покажем, что именно число a и будет пределом последовательности xn.

Во-первых, для всех значений n

 . (6.1)

Во-вторых, какое бы ни взять число e>0, найдётся такой номер N, что

 .

Это следует из того, что число a–e уже не ограничивает множество {xn} и неравенство (3) не может выполняться для всех n.

С другой стороны, ввиду монотонности нашей последовательности (здесь мы впервые на это опираемся), при n > N будет xn ³ xN, т. е.

 ,

и для этих значений номера n выполняются неравенства

  ,

откуда и следует, что .

Пусть теперь последовательность xn не ограничена сверху. Тогда, сколь велико ни было бы число E > 0, найдется хоть одно значение нашей переменной, которое больше E; пусть это будет xN: xN > E. Ввиду монотонности последовательности xn для n > N

 ,

а это и означает, что . □

Замечание. Легко понять, что все заключения остаются в силе и для переменной, которая, лишь начиная с некоторого места, становится монотонной (ибо – без влияния на предел переменной – любое число первых её значений можно отбросить).

Пример. 1. Вычислить .

2. Показать, что  – сходящаяся последовательность.

6.2. Лемма о вложенных отрезках

Рассмотрим ещё одно утверждение о пределе монотонных последовательностей.

Лемма 3. Пусть даны монотонно возрастающая последовательность xn и монотонно убывающая последовательность yn, причём всегда

 .  (6.2)

Если их разность yn–xn стремится к 0, то обе последовательности имеют общий конечный предел.

Доказательство. В силу монотонности при всех значениях n имеем: yn £ y1, а значит, ввиду (4), и xn < y1. Возрастающая последовательность xn оказывается ограниченной сверху, следовательно, она имеет конечный предел

 .

Аналогично для убывающей переменной yn будем иметь yn>xn³x1, поэтому она тоже стремится к конечному пределу

 .

По теореме 4 имеем

 ,

так что c1=c. □

Доказанному утверждению можно придать другую форму, в которой оно чаще применяется.

Лемма 4. Пусть имеется бесконечная последовательность вложенных один в другой отрезков

  ,

причём длины этих отрезков стремятся к 0 с возрастанием n:

 .

Тогда концы an и bn отрезков (с разных сторон) стремятся к общему пределу

 ,

который представляет единственную точку, общую всем отрезкам.

Доказательство. Согласно условию

 ,

так что левый конец an и правый конец bn n-го отрезка играют здесь роль монотонных последовательностей xn и yn.

Так как an стремится к c возрастая, а bn – убывая, то для всех n имеем

 ,

т. е. точка c, действительно, принадлежит всем нашим отрезкам. В то же время другой, отличной от c, точки c1 с тем же свойством быть не может, ибо иначе мы имели бы

  ,

и длина n-го отрезка не могла бы стремиться к нулю. □

Вычислить интеграл , С={x2 +y2 =2x}, проходимый в положительном направлении.

Решение. Контур представляет собой окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Корни знаменателя подынтегральной функции лежат на единичной окружности и на биссектрисах первого-третьего и второго-четвертого углов. Внутрь контура C попадают два из них, лежащих в правой полуплоскости . Остальные два   лежат вне области.


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла