Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Лекция

Последовательность. Предел последовательности

Пусть X – какое-либо множество и ¥ – множество натуральных чисел. Если каждому элементу множества ¥ поставлен в соответствие единственный вполне определённый элемент множества X, то говорят, что задана последовательность. Соответствующий натуральному числу n элемент множества X обозначается через xn и называется n-м членом последовательности. Сама эта последовательность обозначается через {xn} или xn, n = 1, 2, ...

Множество членов последовательности всегда бесконечно. Два различных элемента последовательности могут иметь одно и то же значение, но заведомо отличаются номерами, которых бесконечное множество.

Одним из важнейших понятий математического анализа является понятие предела. Мы начнём его изучение с предела последовательности действительных чисел.

Постоянное число a называется пределом последовательности xn, если для любого e>0 существует такой номер N(e), что все значения xn, у которых номер n>N, удовлетворяют неравенству

 .  (4.1)

Если выполняется это условие, то пишут  или xn®a при n®¥ и говорят, что члены последовательности {xn} стремятся к a. Сама последовательность в этом случае называется сходящейся.

Примеры. Выписать четыре первых члена следующих последовательностей   и сделать предположение об их возможных пределах.

4.2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Последовательность, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой.

Если в определении предела последовательности положить a=0, то неравенство (1) примет вид

 .  (4.2)

Таким образом, данное выше определение бесконечно малой можно подробнее сформулировать без упоминания термина «предел»:

Последовательность называется бесконечно малой, если она по абсолютной величине становится и остаётся меньшей сколь угодно малого наперёд заданного числа e > 0, начиная с некоторого номера.

Можно показать, что, если последовательность xn®a, то она может быть представлена в виде

  ,

где an есть бесконечно малая, и обратно, если последовательность xn допускает такое определение, то она имеет пределом a. Это следует из того, что

 .

Этим свойством часто пользуются на практике для установления предела последовательности.

Последовательность xn называется бесконечно большой, если она по абсолютной величине становится и остаётся большей сколь угодно большого наперёд заданного числа Е > 0, начиная с некоторого номера:

  .

Примеры. Бесконечно большими являются следующие последовательности: .

Если последовательность xn является бесконечно большой и, начиная с некоторого n, сохраняет определённый знак (+ или –), то в соответствии со знаком говорят, что последовательность xn имеет предел +¥ или –¥, и пишут:

 .

Очевидно, что бесконечно большая величина xn в общем случае характеризуется соотношением: |xn|®+¥.

Докажем, что если последовательность xn является бесконечно большой, то её обратная величина  будет бесконечно малой.

Возьмём любое число e>0. Так как |xn|®¥, то для числа E=1/e найдётся такой номер N, что

 .

Тогда для тех же значений n будет

 . □

4.3. Теорема о единственности предела последовательности

Докажем следующую теорему.

Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. xn®a и xn®b одновременно. Выберем числа e1 и e2 таким образом, чтобы множества, задаваемые неравенствами , не пересекались. По определению предела последовательности, начиная с некоторых значений N1 (N2), все члены последовательности принадлежат первому (второму) из этих множеств. Выберем в качестве N3=max(N1, N2). Тогда, начиная с номера N3, все члены последовательности принадлежат обоим этим множествам, что невозможно. □

Задание. Доказать, что если последовательность сходится, то она является ограниченной, т. е. все её значения по абсолютной величине не превосходят некоторого числа.

Пример. Доказать, что .

4.4. Предельный переход в неравенствах

Теорема 2. Если для двух последовательностей xn, yn всегда выполняется неравенство xn ³ yn, причём каждая из них имеет конечный предел: xn ® a,
yn ® b, то a ³ b.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. a < b. Выберем e > 0 таким образом, чтобы окрестности точек a и b не пересекались. Тогда все элементы последовательности xn, начиная с некоторого N1, попадают в e-окрестность точки a, а все элементы последовательности yn, начиная с некоторого N2, попадают в e-окрестность точки b. Выберем N3 = max(N1, N2). Тогда "n ³ N3 справедливо неравенство xn < yn. Получили противоречие. □

Замечание. Из строгого неравенства xn>yn для сходящихся последовательностей, вообще говоря, следует неравенство . Приведите пример.

Теорема 3. Если для последовательностей xn, yn, zn всегда выполняются неравенства xn£yn£zn, причём , тогда .

Доказательство проводится так же, как и в предыдущей теореме.

Следствие. Если для всех n a £ yn £ zn, причём , тогда .

Лекция 5
СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

5.1. Леммы о бесконечно малых величинах

Лемма 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть также величина бесконечно малая.

Лемма 2. Произведение ограниченной последовательности xn на бесконечно малую an величину есть бесконечно малая величина.

Доказательство этих лемм предоставляем читателям.

5.2. Арифметические действия над последовательностями

Теорема 4. Если последовательности xn, yn имеют конечные пределы: , то и сумма (разность) их также имеет конечный предел, причём

 .

Доказательство. Из условия теоремы следует, что

  ,

где an, bn – бесконечно малые. Тогда

 .

Здесь   есть бесконечно малая по лемме 1; следовательно, можно
утверждать, что последовательность  имеет предел, равный . □

Эта теорема и её доказательство переносятся на случай любого конечного числа слагаемых.

Теорема 5. Если последовательности xn, yn имеют конечные пределы: , то их произведение также имеет конечный предел, причём

 .

Доказательство. Поскольку , как и в предыдущем случае, имеем

 ,

где an, bn – бесконечно малые. Поэтому

 .

Выражение в скобках в правой части последнего равенства есть бесконечно малая в силу лемм 1 и 2 о бесконечно малых, т. е. . □

Эта теорема также может быть распространена на случай любого конечного числа сомножителей.

Теорема 6. Если последовательности xn, yn имеют конечные пределы: , b ¹ 0, то их отношение также имеет конечный предел, причём

 .

Доказательство. Поскольку b ¹ 0, начиная с некоторого места, не только yn ¹ 0, но даже

 ,

где r – постоянное число. Ограничимся теми значениями номера n, для которых это выполняется; тогда отношение  заведомо имеет смысл. Имеем

 .

Выражение в скобках, в силу лемм 1 и 2, есть величина бесконечно малая. Множитель же при нём, на основании сказанного вначале, будет ограниченной переменной:

 .

Следовательно, по лемме 2, все произведение справа будет бесконечно малым, а оно представляет разность между последовательностью  и числом . □

5.3. Неопределённые выражения

Выше были оставлены без рассмотрения случаи, когда пределы переменных xn, yn (один или оба) бесконечны или, если речь идет о частном, когда предел знаменателя равен нулю. Из этих случаев мы здесь остановимся лишь на четырёх, представляющих некоторую важную и интересную особенность.

1. Рассмотрим сначала частное и предположим, что обе переменные xn и yn одновременно стремятся к нулю. Этот предел, в зависимости от частного закона изменения обеих переменных, может иметь различные значения или даже вовсе не существовать.

2. В случае, когда одновременно xn®±¥, yn®±¥, имеет место подобное же обстоятельство.

3. Если xn®0, yn®±¥, то, исследуя поведение произведения xnyn, мы сталкиваемся с такой же особенностью, как и в пунктах 1 и 2.

4. Рассмотрим сумму xn+yn. Здесь оказывается особым случай, когда xn и yn стремятся к бесконечности разных знаков: именно в этом случае об их сумме ничего определённого сказать нельзя, не зная самих последовательностей xn и yn.

В перечисленных выше случаях говорят, что речь идёт о неопределённостях следующего вида:

 .

В этих случаях приходится, учитывая закон изменения последовательностей xn и yn, непосредственно исследовать интересующее нас выражение. Подобное исследование получило название раскрытие неопределенности.

Пример. Вычислить .

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте и докажите леммы о бесконечно малых последовательностях.

2. Сформулируйте свойства пределов, связанные с арифметическими операциями.

3. Перечислите все известные вам виды неопределённостей.

Вычислить интеграл , С={x2 +y2 =2x}, проходимый в положительном направлении.

Решение. Контур представляет собой окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Корни знаменателя подынтегральной функции лежат на единичной окружности и на биссектрисах первого-третьего и второго-четвертого углов. Внутрь контура C попадают два из них, лежащих в правой полуплоскости . Остальные два   лежат вне области.


Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла