Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Лекция 2 Числовые множества. Мощность множеств

Расширенная числовая прямая

Известно что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимнооднозначное соответствие. Часто бывает удобно дополнить эти множества элементами, обозначаемыми через +¥ и –¥ и называемыми соответственно плюс и минус бесконечностями, считая при этом, что, по определению,

.

Операции типа  или  не определены. Кроме того,  по определению полагается выполненным неравенство  и справедливость следующих операций:

Множество действительных чисел , дополненное элементами +¥ и –¥ называется расширенным множеством действительных чисел (или расширенной числовой прямой) и обозначается через . Элементы +¥ и –¥ иногда называются бесконечно удалёнными точками расширенной числовой прямой.

2.2. Промежутки действительных чисел

Напомним определения некоторых основных подмножеств действительных чисел, которые часто будут встречаться в дальнейшем. Если , то множество  называется отрезком расширенной числовой прямой  и обозначается через [a, b].

Если , то множество   называется интервалом.

Множества  называются полуинтервалами.

Отрезки, интервалы и полуинтервалы, называются промежутками, точки a и b – их концами: a – левым концом, b – правым, а точки x такие, что a<x<b, – их внутренними точками.

Если a и b конечны, то промежуток с концами a и b называется также конечным промежутком, а число b–a – его длиной.

Если хотя бы одно из a и b является бесконечным, то промежуток с концами a и b называется бесконечным.

2.3. Конечные и бесконечные множества.
Эквивалентные множества. Мощность

Рассматривая различные множества, мы замечаем, что иногда можно, если не фактически, то хотя бы примерно, указать число элементов в данном множестве. Таковы, например, множество всех вершин некоторого многогранника, множество всех простых чисел, не превосходящих данного числа, и т. д. Каждое из этих множеств содержит конечное, хотя, быть может, и неизвестное нам число элементов. С другой стороны, существуют множества, состоящие из бесконечного числа элементов. Таково, например, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой, всех кругов на плоскости, всех многочленов с рациональными коэффициентами и т. д. При этом, говоря, что множество бесконечно, мы имеем в виду, что из него можно извлечь один элемент, два элемента и т. д., причём после каждого такого шага в этом множестве ещё останутся элементы.

Два конечных множества мы можем сравнивать по числу элементов и судить, одинаково это число или же в одном из множеств элементов больше, чем в другом. Спрашивается, можно ли подобным же образом сравнивать бесконечные множества?

Для ответа на этот вопрос нам понадобятся понятия эквивалентности множеств и мощности множеств.

Пусть даны множества A и B, составленные из элементов любой природы. Если каждому элементу aÎA по некоторому правилу ставится в соответствие единственный, вполне определённый элемент bÎB, и обратно, в силу того же самого правила, каждому элементу b¢ÎB соответствует единственный элемент a¢ÎA, то говорят, что между элементами множеств A и B установлено взаимно однозначное соответствие. Будем писать в этом случае a«b.

Пример. Пусть N={1, 2, …, n, …} и M={2, 4, …, 2n, …}. Соответствие n«2n взаимно однозначное.

Если между элементами множеств A и B можно установить взаимно однозначное соответствие, то эти множества называют эквивалентными и пишут A~B. Отношение эквивалентности обладает следующими свойствами:

1) A~A (рефлексивность),

2) если A~B, то B~A (симметричность),

3) если A~B и B~C, то A~C (транзитивность).

Примеры. 1. Множества точек на любых двух отрезках [a, b] и [c, d] эквивалентны между собой. Из рисунка ясно, как установить между ними биекцию. Именно, точки p и q соответствуют друг другу, если они являются проекциями одной и той же точки r вспомогательного отрезка ef.

2. Множество всех чисел в интервале (0, 1) эквивалентно множеству всех точек на прямой. Соответствие можно установить, например, с помощью функции

 .

Рассматривая приведённые примеры, можно заметить, что иногда бесконечное множество оказывается эквивалентным своему собственному подмножеству. Оказывается, что это свойство справедливо для всех бесконечных множеств, поэтому его можно принять за определение бесконечного множества: множество называется бесконечным, если оно эквивалентно некоторому своему собственному подмножеству.

Два конечных множества эквивалентны между собой тогда (и только тогда), когда число элементов у них одинаково. Из совокупности бесконечных множеств с помощью отношения эквивалентности выделим счётные множества: множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Из свойств эквивалентности следует, что любые два счётных множества эквивалентны между собой.

Примеры. Показать, что следующие множества являются счётными:

1. Множество всех целых чисел.

2. Множество 2, 4, 8,..., 2n, ... степеней числа 2.

3. Множество всех рациональных чисел.

Мощностью произвольного множества A называется то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных данному множеству A.

Если A – конечное множество, то его мощность совпадает с числом элементов этого множества. Мощность множества натуральных чисел (т. е. любого счётного множества) обозначается символом À0 (читается: «алеф нуль»). Мощность произвольного множества A будем обозначать m(A).

Пусть даны множества A и B. Если A неэквивалентно B, но в A есть подмножество, эквивалентное B, то будем говорить, что мощность A больше мощности B, и писать m(A) > m(B).

2.4. Теорема Кантора

Можно доказать, что из всех бесконечных множеств счётные множества имеют наименьшую мощность, если только существуют бесконечные множества, неэквивалентные счётному. Такие множества называются несчётными, их существование следует из теоремы Кантора.

Теорема 1 (Кантора). Множество действительных чисел отрезка [0, 1] несчётно.

Доказательство. Предположим, что дано какое-то счётное множество (всех или только некоторых) действительных чисел a, лежащих на отрезке [0, 1]:

  (2.1)

 

 

……………………….....

 

………………………...

Здесь aik – k-я десятичная цифра числа ai. Построим дробь

 

диагональной процедурой Кантора, а именно: за b1 примем произвольную цифру, не совпадающую с a11, за b2 – произвольную цифру, не совпадающую с a22, и т. д.; вообще, за bn примем произвольную цифру, не совпадающую с ann. Эта десятичная дробь не может совпасть ни с одной дробью, содержащейся в перечне (1). Действительно, от a1 дробь b отличается по крайней мере первой цифрой, от a2 – второй цифрой и т. д.; вообще, так как bn¹ann для всех n, то дробь b отлична от любой из дробей ai, входящих в перечень (1). Таким образом, никакое счётное множество действительных чисел, лежащих на отрезке [0, 1], не исчерпывает этого отрезка. □

Замечание. Приведённое доказательство содержит небольшой «обман». Дело в том, что некоторые числа (а именно, числа вида p/10q) могут быть записаны в виде десятичной дроби двумя способами: с бесконечным числом нулей или с бесконечным числом девяток, например,

 

Таким образом, несовпадение двух десятичных дробей еще не гарантирует различия изображаемых ими чисел.

Однако если дробь b строить так, чтобы она не содержала ни нулей, ни девяток, полагая, например, bn=2, если ann=1 и bn=1, если ann¹1, то доказательство становится вполне корректным.

Примеры. Следующие множества эквивалентны отрезку [0, 1]:

1. Множество всех точек любого отрезка [a, b] или интервала (a, b);

2. Множество всех точек на прямой;

3. Множество всех точек плоскости, пространства, поверхности сферы, точек, лежащих внутри сферы, и т. д.;

4. Множество всех прямых на плоскости;

5. Множество всех непрерывных функций одного или нескольких переменных.

Множества, эквивалентные множеству точек отрезка [0, 1], называются множествами мощности континуума. Мощность континуума обозначается символом c (или символом À). Теорема Кантора в сочетании с предыдущей теоремой показывает, что À>À0.

Существуют ли множества мощности большей, чем c? Оказывается, существуют. Например, множество F всех вещественных (непрерывных и разрывных) функций, заданных на отрезке [0, 1], имеет мощность большую, чем c.

Можно доказать, что множества с наибольшей мощностью не существует, подобно тому, как не существует самого большого натурального числа.

Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.1 способ. Интеграл вычисляется сведением к криволинейным интегралам от функций действительных переменных 2 способ. Интеграл вычисляется сведением к определенному интегралу (путь интегрирования задается в параметрической форме 3 способ. Вычисление интегралов от аналитической функции в односвязных областях
Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла