Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Математический анализ

Математический анализ – совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Основателями этой дисциплины являются английский учёный И. Ньютон (1643–1727) и немецкий учёный Г. Лейбниц (1646–1716). Дальнейшее развитие математический анализ получил в работах таких известных математиков, как Я. Бернулли (1654–1705), И. Бернулли (1667–1748), Б. Тейлор (1685–1731), Л. Эйлер (1707–1783), Ж. Лагранж (1736–1813), Ж. Фурье (1768–1830), О. Коши (1789–1857), К. Якоби (1804–1851), К. Вейерштрасс (1815–1897), Б. Риман (1826–1866), М. Жордан (1838–1922), Г. Кантор (1845–1918) и многих других. Классическая часть современного математического анализа окончательно сформировалась к началу XX столетия. Эта часть анализа преподаётся на первых двух курсах университетов и входит (целиком или в значительной части) в программы всех технических вузов у нас в стране и за рубежом.

Важность этой дисциплины обусловлена тем, что на её основе строится в дальнейшем изучение ряда других предметов, где активно используются и развиваются идеи и методы математического анализа. К таким предметам относятся, в частности, «Дифференциальные уравнения», «Численные методы», «Уравнения математической физики», «Дополнительные главы анализа», «Функциональный анализ» и другие.

Сложность изучения математического анализа обусловлена, во-первых, большим объёмом рассматриваемого материала, а, во-вторых, новизной используемого для изложения этого материала языка. В частности, в первом семестре особые сложности у студентов вызывает определение предела функции «на языке e-d». Преодолевать указанные трудности приходится путём неформального разъяснения сути вводимых понятий и разбираемых теорем, а также решения достаточного количества примеров с привлечением графиков и расчётов на микрокалькуляторе.

Конспект лекций содержит материал, изучаемый студентами специальности «Прикладная математика и информатика» ДВГУПС на 1 курсе в 1 семестре.

Лекция
1МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1.1. Множества. Операции над множествами

В математике первичными понятиями являются понятия множества и элемента множества. Множества обозначают большими латинскими буквами A, B, ..., а их элементы – малыми a, b, ... Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут aÎA. В противном случае пишут aÏA.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Æ.

Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A является элементом множества B. Пишут AÌB или BÉA и говорят, что множество A включено во множество B или B включает A.

Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Записывают это так: A=B.

Включение AÌB не исключает равенства этих множеств. Если же AÌB, но A¹B и A¹Æ, то A называют собственным подмножеством множества B.

Если множество A включено во множество B или совпадает с ним, то пишут AÍB или BÊA.

Пример. Для числовых множеств имеют место следующие очевидные включения: N Ì Z Ì Q Ì R Ì C.

Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Если заданы два множества A и B, то через AÈB обозначается множество, называемое их объединением или суммой и состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Таким образом, если некоторый элемент принадлежит множеству AÈB, то он принадлежит либо только множеству A, либо только множеству B, либо обоим этим множествам одновременно.

Для любого множества A (непустого или пустого) полагается AÈÆ=A.

Через A∩B обозначается множество, состоящее из всех элементов, которые одновременно принадлежат как множеству A, так и множеству B. Множество A∩B называется пересечением множеств A и B. Если A и B не имеют общих элементов (в частности, одно из них или оба пусты), то полагают A∩B=Æ. В этом случае множества A и B называются непересекающимися.

Отметим, что пустое множество совпадает само с собой: Æ=Æ, но вместе с тем оно не пересекается само с собой: ÆÆ=Æ.

Через   обозначается множество, называемое разностью множеств A и B и состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Говорят также, что  получается из множества A вычитанием из него множества B.

Если BÌA, то разность  называется дополнением множества B до множества A. По определению, полагается .

Пример. Пользуясь определениями операций над множествами, доказать справедливость следующих равенств для любых множеств A, B, C:

,

.

1.2. Логические символы

В математических рассуждениях часто встречаются выражения «существует элемент», обладающий некоторыми свойствами, и «любой элемент» среди элементов, имеющих некоторое свойство. Вместо слова «существует» или равносильного ему слова «найдётся» иногда пишут символ $, т. е. перевернутую латинскую букву E (от англ. Existence существование), а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» – символ ", т. е. перевернутое латинское A (от англ. аny любой). Символ $ называется символом существования, а символ " – символом всеобщности.

Кроме того, в математических доказательствах часто используют символ Þ, который означает «следует» (одно высказывание следует из другого), и символ Û, который означает равносильность высказываний, стоящих по разные от него стороны.

1.3. Действительные числа. Свойства действительных чисел

Определим действительные числа как множество бесконечных десятичных дробей, периодических и непериодических. Множество таких чисел обладает замкнутостью относительно операций сложения и умножения, т. е. сумма и произведение двух действительных чисел есть действительное число. Рассмотрим другие свойства действительных чисел.

I. Операция сложения

I1.   (коммутативность сложения).

I2.   (ассоциативность сложения).

I3.   (существование нуля).

I4.   (существование противоположного числа).

II. Операция умножения

II1.  (коммутативность умножения).

II2.  (ассоциативность умножения).

II3.  (существование единицы).

II4.  (существование обратного числа).

III. Связь операций сложения и умножения

  (дистрибутивность умножения относительно сложения).

IV. Упорядоченность

  имеет место только одно соотношение: a>0, a=0 или a<0.

При этом если  и a>0, b>0, то имеют место неравенства:

IV1. .

IV2. .

Свойство IV дает возможность ввести понятие сравнения для любых двух чисел.

Число b называют числом, большим числа a, и пишут b>a, или, что то же самое, число a называют меньшим числа b и пишут a<b, если b–a>0.

Наличие сравнения «больше» или «меньше» для любой пары действительных чисел называется свойством упорядоченности множества всех действительных чисел.

V. Свойство непрерывности.

Каковы бы ни были непустые множества .

Замечание. Свойство непрерывности действительных чисел связано с самым простейшим использованием математики на практике – с измерением величин. При измерении какой-либо физической или какой-нибудь другой природы величины часто получают с большей или меньшей точностью её приближённые значения. Если в результате экспериментального измерения данной величины получается ряд чисел, дающих значение искомой величины с недостатком (они играют роль множества A в приведённой выше формулировке свойства непрерывности) и с избытком (множество B), то свойство непрерывности действительных чисел выражает объективную уверенность в том, что измеряемая величина имеет определённое значение, расположенное между её приближёнными значениями, вычисленными с недостатком и избытком.

Сформулированные выше свойства можно использовать для исходного
определения действительных чисел. Следует только исключить тривиальный случай: легко проверить, что для множества, состоящего только из одного нуля, выполняются все свойства I–V (в таком множестве 0=1). Множество, в котором имеется хоть один элемент, отличный от нуля, будем здесь для краткости называть нетривиальным.

Нетривиальное множество элементов, обладающих свойствами I–V, называется множеством действительных чисел. Каждый элемент этого множества называется действительным числом.

Построение теории действительных чисел, основывающееся на таком их определении, называется аксиоматическим, а свойства I–V – аксиомами действительных чисел.

Пример. Показать, что число, обладающее свойством нуля, единственно.

Из свойств I, II и III могут быть выведены и другие свойства сложения и умножения. Мы на этом останавливаться не будем.

Замечание. Отметим, что свойства I–III не описывают полностью действительные числа, так как существуют другие множества, элементы которых удовлетворяют этим свойствам. Например, рациональные числа или комплексные числа, а также совокупность рациональных функций, т. е. функций вида , где  и  – многочлены.

Элементы всех перечисленных множеств можно складывать и умножать, причём эти операции будут подчиняться условиям I, II и III. Множества, удовлетворяющие этим требованиям и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называются полями.

При этом, в отличие от поля действительных чисел, поле рациональных чисел не обладает свойством непрерывности, а поле комплексных чисел – свойством упорядоченности.

Контрольные вопросы

1. Какое множество называется пустым?

2. Какие множества называются равными?

3. Перечислите и определите операции над множествами.

4. Какими свойствами обладает множество действительных чисел

Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.1 способ. Интеграл вычисляется сведением к криволинейным интегралам от функций действительных переменных 2 способ. Интеграл вычисляется сведением к определенному интегралу (путь интегрирования задается в параметрической форме 3 способ. Вычисление интегралов от аналитической функции в односвязных областях
Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла