Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Производная степенной функции с любым действительным показателем

Известно, что (xn)' = nxn-1 для натурального n. Пусть теперь n любое дейст­вительное число и х>0. Справедливо тождество xn = enlnx. Тогда у = enlnx – сложная функция и ее производная вычисляется следующим образом: y' = (enlnx)' = enlnx(nlnx)' = enlnx =   xn = nxn-1. Итак, при любом действитель­ном n и х>0 верна формула (xn)' = nxn-1. Можно показать, что эта формула справедлива и при х<0, если при этом функция y = xn определена.

Таблица формул дифференцирования

В таблице приняты обозначения: с, n – любые действительные числа; а – любое положительное действительное число, кроме единицы. u= u(x) – функция, дифференцируемая в точке х, y = f (u) – функция, дифференцируемая в соответствующей точке u. Таблица составлена на основании формул дифференцирования основных элементарных функций и теоремы о производной сложной функции.

1.(с)' = 0

8. ,

2. (un)' = nun-1u'

9.

3. (au) = aulnau'

10.

3а. (eu) = euu'

11.

4.

4а.

13. (chu)' = shu×u'

5. (sinu)' = cosu×u'

14.

6.(cosu)' = -sinu ×u'

15.

7.  

16.

Производные высших порядков

Предположим, что функция y = f(x) дифференцируема в некотором интер­вале (а, в). Тогда ее производная f'(x) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f(x)и обозначается y'' или f''(x).

Таким образом, f''(x) = (f'(x)) '. При этом f'(x) называется первой произ­водной или производной первого порядка функции f(x).

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще, производной n –го порядка функции y = f(x) в точке х называ­ется первая производная производной (n-1)-го порядка функции y = f(x) при ус­ловии, что в точке х существуют все производные от первого до n –го порядков. Обозначение: y(n) или f(n)(x). Таким образом, f(n)(x) = ( f(n-1)(x)) '.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Примеры.

1.                 Найти у''' для функции y = cos2x.

y' = 2cosx(-sinx) = -sin2x

y'' = -2cos2x

y''' = 4sin2x

2.                 Найти y(n) для функции y = e3x, y' = 3e3x, y'' = 32e3x, y''' = 33e3x,…, y(n) = 3ne3x

Механический смысл второй производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t-время, f(t) – путь, пройденный за время t. Из физики известно, что при этом ускорение точки в момент времени t равно производной скорости по t. Таким образом, ускорение w(t) = v'(t) = S''(t) равно второй производной пути по времени.

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями:

x = x(t), y = y(t), tÎ(a;b).

Предположим, что функции x(t), y(t), имеют производные на (a;b) и функция x(t) имеет обратную функцию t = g(х), которая также имеет производную в соответствующих точках х. Тогда определенную параметрическими уравнениями функцию у от х можно рассматривать как сложную функцию y = y(t), t = g(х), t – промежуточный аргумент. По правилу дифференцирования сложной функции получаем y'x = y't t'x = y't g'x. По теореме о дифференцировании обратной функции g'x = . Учитывая это, получаем y'x =.

Если существует у''х, то рассуждая аналогично, получаем

Вообще,   при условии, что все производные существуют.

Пример. x = cos3t, y=sin3t. Вычислить у''х. x't = – 3cos2t sint, y't=3sin2tcost, поэтому   . Тогда .

 

Дифференцирование функций, заданных неявно

Пусть значения переменных х и у связаны уравнением

F(x, y) = 0. (1)

Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция.

Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, то есть не представляя в виде y = f(x), так как часто это преобразование бывает технически сложным или невозможным.

Для нахождения производной у'х неявной функции, нужно продифференцировать по х обе части равенства (1), учитывая, что у есть функция от х. Затем из полученного равенства выразить у'х.

Пример 1. Вычислить у'х.

У5+ху-х2 = 0

Продифференцируем обе части по х. Получим 5у4у'+у+ху'-2х=0. Выразим у'. y'(5у4) = 2х-у, у' = (2х-у)/(5у4).

Пример 2. 

tg(x+y) = xy

Продифференцируем обе части по х. Получим   или . Отсюда или . Окончательно .

Заметим, что производная неявной функции выражается через х и у, то есть получается равенство

y' = g(x, y) (2)

Для вычисления второй производной неявной функции, нужно продифференцировать обе части равенства (2) по х и затем подставить выражение g(x, y) вместо y'.

Аналогично можно вычислить производные любого порядка неявной функции.

Пример. х22-1=0. Найти у''.

Продифференцируем обе части данного равенства по х, получим 2х+2уу' = 0, откуда у' = -. Продифференцируем обе части последнего равенства по х, получим   или . Подставим , вместо у'. .

Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.1 способ. Интеграл вычисляется сведением к криволинейным интегралам от функций действительных переменных 2 способ. Интеграл вычисляется сведением к определенному интегралу (путь интегрирования задается в параметрической форме 3 способ. Вычисление интегралов от аналитической функции в односвязных областях
Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла