Информатика
Проектирование
Геометрия
Алгебра
Курсовой
Графика
Электротехника
Задачи

Сопромат

Лабораторные
Методика
Физика
Чертежи
Энергетика
Математика
Реактор

Теоремы о пределах

Теорема 1. Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x)±g(x),причём .

Теорема 2. Если в точке а существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует и предел произведения f(x)×g(х), причем .

 Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

 Действительно,

 Следствие 2.

 Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и g (x) и при этом , то существует и предел частного , причем .

 Теорема 4. Если функция f (x) имеет предел в точке а, отличный от нуля, то функция  также имеет в этой точке предел, причем .

 Докажем для примера, что .

  Пусть , .

  Так как , то f(x) = A + a(x), где a(x) ® 0 при x ® a, а так как , то g(x) = В + b(x), где b(x) ® 0 при x ® a.

  Тогда f (x) ± g(x) = [A + a(x)] ± [В + b(x)] = (А ± В) + (a(x) ± b(x)), где a(x) ± b(x) ® 0 при x ® a как алгебраическая сумма бесконечно малых a(x) и b(x).

 Таким образом, функция f (x) ± g(x) отличается от числа А ± В на бесконечно малую и, следовательно, это число является пределом суммы функций f(x) и g(x), то есть имеем .

  Отметим, что при вычислении пределов сформулированные выше теоремы о пределах, как правило, не "работают", а попытка их применения приводит в итоге к неопределенности того или иного вида. Например,

  , , ,

  , .

  Рассмотрим на примерах основные приёмы раскрытия неопределенностей.

  Заметим, что необходимо выяснить, что именно эту неопределённость "вносит", и постараться избавиться от выражения, вносящего неопределённость.

 Пример 5. Найти

 Решение. Числитель и знаменатель дроби  при х ® 2 стремятся к нулю, то есть теорема о пределе частного неприменима, так как знаменатель дроби стремится к нулю. То, что получилось при подстановке х = 2 в числитель и знаменатель неопределённое выражение , указывает на тот факт, что числитель и знаменатель дроби одновременно при х  2 являются бесконечно малыми. И происходит это из-за того, что х  2 (или х – 2  0). Мы преобразуем дробь так, чтобы х – 2 из дроби исчезло. Очевидно, что = , а так как х лишь стремится к двум, но х ¹ 2, то дробь можно сократить на х – 2 под знаком предельного перехода.

  Имеем

 Пример 6. Найти .

 Решение. Здесь х – 7 ® 0, поэтому преобразуем выражение так, чтобы сократить его на х -7. Для этого умножим и разделим дробь на . Тогда  и мы имеем  Пример 7. Найти пределы: , ,

 Решение. Так как во всех случаях неопределенность получается из-за того. что х   ¥, следует раскрывать неопределенность, деля дроби на х в той или иной степени, тем самым избавляясь от выражения, вносящего неопределенность. Итак,

.

  С­ледующие пределы найдем уже не так подробно.

;

 

 

Некоторые признаки существования предела функции

Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, sin x при x ® ¥ предела не имеет, хотя £ 1.

 Укажем два признака существования предела функции.

 Теорема (о промежуточной функции).

  Пусть в некоторой окрестности О (а) точки а функция f(x) заключена между двумя функциями j (x) и y (x), имеющими одинаковый предел А при x ® a, то есть j (x) £ f(x) £ y (x) и

  Тогда функция f(x) имеет тот же предел:

  Функция f (x) называется возрастающей на данном множестве X, если f(x1)<f(x2) для x1< x2 (x1, x2 Î X).

 Функция f(x) называется убывающей на множестве X, если f( ) > f(x2) для x1< x2 (x1, x2 Î X).

 Возрастающая или убывающая функция называется монотонной на данном множестве X.

  Если f( ) £ f( ) для x1< x2, то f(x) называют неубывающей, а если f(x1) ³ f(x2) для x1< x2 – не возрастающей. И в этом случае функцию называют монотонной.

 Теорема. Пусть функция f(x) монотонна и ограничена при x< a (или при x > a). Тогда существует соответственно  (или ).

 

Первый и второй замечательные пределы

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть

  .

  Этот предел называют первым замечательным пределом. С его помощью вычисляют пределы выражений, содержащих тригонометрические функции.

 Пример 8. Вычислить

 Решение. Преобразуем данное выражение:

 Пример 9. Найти

 Решение. Для того чтобы воспользоваться первым замечательным пределом, перейдем к новой переменной  которая при  стремится к нулю. Тогда имеем

  При вычислении пределов вида , где    используется второй замечательный предел:  или  или ,

 Пример 10. Найти

 Решение. Полагая , получим:  и

  Пример 11. Найти

 Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предельного перехода.

  Так как , а , то .

 Замечание. Показательная функция c основанием  играет большую роль в математике и ее приложениях. Логарифмы с основанием  называют натуральными логарифмами и обозначают символом .

  В заключение приведем еще несколько замечательных пределов:

1)        так как . Окончательно, ;

2)      

3)      

=

4)      

 Пример 12. Найти .

 Решение. Для решения воспользуемся формулой .

Преобразуем:

=

 

Непрерывность функции

Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке , если

  Из определения непрерывности функции следует, что функция в точке  определена, ее значение в этой точке равно  и кроме того, так как , мы имеем: , то есть под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

 Замечание. Существование равносильно тому, что существуют равные друг другу левосторонний и правосторонний пределы функции при , равные к тому же и значению функции в точке ,то есть . (1)

  Если функция не является непрерывной в точке , то говорят, что она в этой точке разрывна. Ясно, что при невыполнении хотя бы одного из равенств (1), функция будет разрывной.

Примеры:

1)     функция  разрывна в точке х=2, так как она в этой точке не определена, или не имеет значения;

2)     функция

также не является непрерывной в точке х = 2, так как , а значение функции в точке 2 равно 2, то есть ;

3) функция

в точке х = 2 непрерывна, так как .

 Функция  называется непрерывной справа в точке , если  и слева, если .

 Пример. Функция  является непрерывной справа в точке х = 0, слева же от этой точки она вообще не определена.

 Говорят, что функция  непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

 Если функция  непрерывна в каждой точке отрезка [a, b], то говорят, что она непрерывна на этом отрезке, причем непрерывность в точке а понимается как непрерывность справа, а непрерывность в точке b – как непрерывность слева.

  Теперь переформулируем определение непрерывности в других терминах. Обозначим  и назовем его приращением аргумента в точке ,  будем называть приращением функции в точке .

Теорема. Функция  непрерывна в точке  тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке, то есть

 Докажем теорему. Пусть  непрерывна в точке . Тогда  по определению. Если обозначить , то  и тогда равенство, определяющее непрерывность, можно переписать так:  или  и тогда  Аналогично доказывается это утверждение в другую сторону: если , то .

  Сформулируем основные теоремы о непрерывных функциях.

 Теорема. Пусть заданные на одном и том же множестве Х функции  и  непрерывны в точке . Тогда функции ,  и  (если ) непрерывны в точке .

 Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция  непрерывна в точке , а функция  непрерывна в точке . Тогда сложная функция  непрерывна в точке .

  Всевозможные арифметические комбинации простейших элементарных функций, которые рассматривают в школьном курсе алгебры и начал анализа, мы будем называть элементарными функциями. Например,  является элементарной.

 Все элементарные функции непрерывны в области определения. Так что  всюду непрерывна, так как всюду определена, а, например, функция  разрывна в точке .

  Дадим теперь классификацию точек разрыва функций. Возможны следующие случаи.

  1.Если  и  существуют и конечны, но не равны друг другу, то точку  называют точкой разрыва первого рода. При этом величину  называют скачком функции в точке .

 Пример 13. Исследовать на непрерывность функцию .

 Решение. Эта функция может претерпевать разрыв только в точке 0, где происходит переход от одного аналитического выражения к другому, а в остальных точках области определения функция непрерывна.

  Найдем левосторонний предел функции при . Слева от точки 0, то есть при   , а .

  Справа от точки 0 . Тогда = . Значение функции в точке 0 равно нулю, то есть . Функция в точке 0 имеет разрыв первого рода. Это видно на графике функции.

  2.Если в точке   , но в точке  функция  либо не определена, либо , то точка  является точкой устранимого разрыва. Последнее объясняется тем, что если в этом случае доопределить или видоизменить функцию , положив , то получится непрерывная в точке  функция.

 Пример 14. Функция  в точке х = 1 не определена, но , то есть = . Доопределим функцию в точке, положив ее значение в этой точке, равным трем.

Тогда функция

становится непрерывной в точке 1.

3. Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.

 Пример 15. Функция  в точке 1 имеет разрыв второго рода, так как  и .

 Пример 16. Исследовать на непрерывность функцию .

 Решение. Функция не определена в точке 0. Тогда . И функция в точке х=0 имеет разрыв второго рода.

 Замечание. В последних двух примерах мы ввели символическую запись  которая означает, что знаменатель такой дроби стремится к нулю, вся дробь стремится к бесконечности, но вовсе не означает, что мы производим деление на 0, что невозможно.

  И в заключение рассмотрим свойства функций, непрерывных на отрезке.

 Теорема Больцано-Коши об обращении функции в нуль. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения различных знаков, то есть  Тогда существует точка  такая, что

  Проиллюстрируем теорему:

Из рисунка видно, что функция имеет три нуля, то есть три точки, в которых она обращается в нуль.

 Вторая теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции. Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения . Тогда, каково бы ни было число  между числами , найдется точка  в интервале  такая, что .

Теорема 1 Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она на этом отрезке ограничена, то есть существуют числа m и М такие, что m М для любого .

 Теорема 2 Вейерштрасса. Если функция  определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений (то есть существуют такие   на отрезке [a,b], что для любого

Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.1 способ. Интеграл вычисляется сведением к криволинейным интегралам от функций действительных переменных 2 способ. Интеграл вычисляется сведением к определенному интегралу (путь интегрирования задается в параметрической форме 3 способ. Вычисление интегралов от аналитической функции в односвязных областях

Курс электрических цепей