Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Метод замены переменной Вычислить двойной интеграл Вычислить двойной интеграл криволинейный интеграл поверхностный интеграл Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Пределы и непрерывность функции

Предел функции

Совокупность значений некоторых величин, как правило, лишенных физического содержания, представляет собой некоторые числовые множества. Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита: А,В,..,Х,У. Элементы этих множеств будем обозначать малыми буквами, а тот факт, что какой-то элемент принадлежит некоторому множеству, будем обозначать символом Î (принадлежит): х Î Х,у Î Y. Кроме того, мы будем использовать символы " (любой) и $ (существует).

  Если каждому элементу хÎХ поставлен в соответствие единственный элемент у=f(х) Î У, где Х и Y -данные числовые множества, то у называется функцией от х, определенной на множестве Х.

  Этот факт записывают так: у=f(х). Х называют множеством определения функции, а множество Y – множеством ее значений.

  Можно сказать, что функция f осуществляет отображение множества Х в Y.

  Eсли любой элемент у Î Y является значением функции f, тo говорят, что функция f отображает множество Х на множество  

 Пример 1. Функция f(х) = sin х отображает интервал Х = (0,2p) на отрезок [-1,1].

  Действительно, изобразим у = sin х в интервале (0,2p). Очевидно, что каждое число из отрезка [-1,1] оси ОY является значением функции у = sin х.

Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) устанавливает взаимно однозначное соответствие, то есть "xÎX соответствует один и только один его образ y =f(x) Î Y и обратно, для " y Î Y найдется единственный прообраз x Î X такой, что f(x) = y. Тогда функция x =f--1(y), где y Î Y, устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X, называется обратной для функции y = f(x).

 Иначе: обратная функция f -1 является отображением множества Y на множество X.

  Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал a < x < b, окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.

  Под окрестностью О(¥) символа бесконечность понимается внешность любого отрезка [a,b], то есть О (¥) = (-¥,a) È (b,+ ¥).

 б-окрестностью точки а называется интервал (аб, а+б), не содержащий точку а, то есть О (а, б) = (а- б, а) È (а, а + б).

  Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а. Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, если в любой б -окрестности точки а содержится бесконечно много точек xÎX, то есть О (а) ÇX ¹ Æ для " О(а).

  Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при x®а), если для любого e > 0 cуществует число б (e) > 0 такое, что для любого x Î X, удовлетворяющего условию 0 < ïx – аï < б,следует неравенство ïf (x) – Aï< e.

  Учитывая, что все x, удовлетворяющие условию 0 < ïx- аï< б, находятся в б-окрестности точки а, можно несколько иначе сформулировать определение предела.

  Говорят, что число А является пределом функции f(x) при x®а, если для "e > 0 существует б-окрестность точки а О (а,б) = íx/ 0< ïx-aï<бý,где б =б (e), такая, что для " x Î O (а, б) выполняется неравенство ïf(x) – Aï < e.

  При этом пишут:

Утверждение   эквивалентно следующему:

ïf(x) – Aï < e при ïx ï > ∆, где ∆ = ∆(e) зависит от e и по смыслу определения является достаточно большим положительным числом.

 Множество всех точек x, для которых ïxï > ∆, очевидно является симметричной окрестностью символа ¥.

Пример 2. Доказать, что  (2х +1) = 7.

Решение. Возьмем произвольное число e > 0. Покажем, что можно найти такую  – окрестность точки х = 3, что для всех точек х Î 0 (3,d) будет выполняться соотношение |(2х+1)-7| < e.

  Преобразуем неравенство |(2х+1)-7| < e так, чтобы из него получить < d. Имеем

< e <=> |2х – 6| < e <=> 2|х – 3| < e <=> |х – 3| < . Ясно, что, взяв d мы получим требуемое соотношение:

ïх – 3ï < d=>ï(2х + 1) – 7ï <e.

  Сформулируем некоторые свойства пределов.

Теорема. Если функция f(х) = с постоянна в некоторой окрестности точки а, то

Теорема. Если f(х) имеет предел при х а, то этот предел единствен.

  Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует такое положительное число М, что |f(х)| £ М при всех х ÎХ.

  Если такое число М не существует, то функция f(х) называется неограниченной.

Пример 3. Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси, так как . Функция  не ограничена на множестве, содержащем точку х = 0.

Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при х а, то она ограничена в некоторой окрестности точки х = а.

Доказательство. Выберем e = 1, что возможно, так как e – любое положительное число. Имеем < 1 при x Î 0 (а, б), что следует из определения предела функции. Рассмотрим . Очевидно: ïf(x)ï = ïf(x) – A + Aï £ ï f(x) – Aï + ïAï. Но для x Î O (а, б) имеем ïf(x) – A ï < 1 и тогда ïf(x)ï < 1 +ïAï для x Î O(а, б), где М = 1 +ïAï.

Замечание. Обратное утверждение неверно: ограниченная функция может не иметь предела.

Например, функция f(x) = sin ограничена при 0< ïxï < + ¥, но не имеет предела при x ® 0.

 Теорема. Пусть существует   и пусть М < f(x) < N в некоторой окрестности точки x = a. Тогда М £ А £ N.

 Положительная функция не может иметь отрицательного предела.

 

Односторонние пределы

Любой интервал (a, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а.

  Аналогично любой интервал (a, b), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

  Символически запись означает, что х стремится к а справа, оставаясь большим а, то есть при х > а;  означает, что х стремится к а слева, то естьпри х < а.

будем называть левосторонним пределом функции при слева, -это правосторонний предел функции.

 Теорема. Функция у = f(х) имеет   в том и только в том случае, когда существуют и равны друг другу ее   и . Tогда  =   =  

 

Бесконечно малые и бесконечно большие

Функция (х) называется бесконечно малой при х®а, если   Ясно, что тогда ïa(x)ï Ð e для x Î O (а, б) и " e > 0.

 Функция f(х) называется бесконечно большой при если . Это равносильно тому, что каким бы ни было число М > 0, найдется такая окрестность О (а, б), что для всех x Î O (а, б) > M.

 Лемма. Если f(х) ¥ при х а, то 0 при х®а. Если a (x) ® 0 при x® a, то ® ¥ при x ® a и a (x) ¹ 0.

 Действительно, пусть f(x) ® ¥, то есть является бесконечно большой. Тогда ïf(x)ï > М для x Î O (а, б).  для x Î O (а, б), то есть  для x Î O (а, б), это означает, что , так как можно взять в качестве e > 0.

Аналогично доказывается вторая часть утверждения.

 Пример 3. Функция f(x) = x2 является бесконечно малой при x®0, а  g (x) = бесконечно большой (при x ¹ 0).

 Рассмотрим основные теоремы о бесконечно малых.

 Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при x ® а функций есть функция бесконечно малая при x ® а.

 Доказательство. Для простоты ограничимся двумя функциями:

a(x) ® 0, b(x) ® 0 при x ® a.

  Пусть e > 0 – произвольное число. Тогда число тоже произвольное положительное число. Из условий: a(x) ®0, b(x) ®0 при x ® a следует, что для числа  существуют б-окрестности точки а O1 (а, б) и О2 (а, б) такие, что < для x Î O1 (а, б), а ïb(x)ï <   для x Î O2 (а, б). В О (а, б) = О1 (а, б) Ç О2 (а, б) будут одновременно выполнены оба последних неравенства.

 Таким образом, ïa(x) + b(х)ï £ ïa(x)ï + ïb(x)ï <   для x Î O (а, б), что и означает, что , то есть a(x) + b(x) – бесконечно малая при x ® a.

 Теорема 2. Произведение конечного числа бесконечно малых при x ® a функций есть бесконечно малая при x ® a функция.

 Теорема 3. Произведение бесконечно малой при x®a функции на функцию, ограниченную при x ® a, есть бесконечно малая при x ® a.

 Следствие. Целая положительная степень [a(x)]n бесконечно малой при x ® a функции a(x) есть бесконечно малая при x ® a.

  Две бесконечно малые при х а функции a(х) и b(х) называются бесконечно малыми одинакового порядка, если k, где k ¹0 и конечно.

  Например, функции у = х+1 и у = хз+1 при х -1 являются бесконечно малыми одинакового порядка, так как .

 Две бесконечно малые при х а функции a(х) и b(х) называются эквивалентными при х а, если , то есть a (x) » b(x) при x ® a.

 Бесконечно малая при х а функция a(х) называется функцией более высокого порядка по сравнению с функцией b(х) при х а, если .

  В этом случае пишут a(х) = о (b(х)).

 Так, функция y = х3 является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с y=х при х 0, так как .

 Замечание. Если , то в силу определения предела функции получаем: ïf(x)-Aï<e при xÎ O(а, б), что означает, что f(x)A является бесконечно малой при x® a. Тогда, полагая f(x)-A=a(x), имеем f(x) = A + a(x), где a(x) ® 0 при x ® a.

 Таким образом, имеем:

    = A <=> f(x) = A + a(x), где a(x) 0 при x ® a.

 Лемма. Если , то в некоторой окрестности О(а) точки знак функции f(x) (xÎX) совпадает со знаком числа А.

Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.1 способ. Интеграл вычисляется сведением к криволинейным интегралам от функций действительных переменных 2 способ. Интеграл вычисляется сведением к определенному интегралу (путь интегрирования задается в параметрической форме 3 способ. Вычисление интегралов от аналитической функции в односвязных областях
Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания Решение задач на вычисление интеграла