Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 2 Исследовать на сходимость ряд .

Решение.
Применим признак Даламбера.
     
Так как и , то заданный ряд сходится.

Пример 3 Определить, сходится или расходится ряд

     
Решение.
В соответствии с признаком Даламбера, вычислим следующий предел:
     
Разделим числитель и знаменатель на n2:
     
Следовательно, ряд сходится.

Пример 4 Исследовать на сходимость ряд

     
Решение.
Применим признак Даламбера и вычислим соответствующий предел:
     
Поскольку отношение больше 1, то данный ряд будет расходиться.

Пример 5 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Используем радикальный признак Коши.
     
Как видно, данный ряд расходится.

  Пример 6 Исследовать на сходимость ряд .

Решение.
Применяя признак Коши, вычислим следующий предел:

     

Следовательно, ряд расходится.

Пример 7 Исследовать на сходимость следующий ряд:

     
Решение.
Общий член ряда выражается формулой . Применим радиальный признак Коши:
     

Поскольку предел меньше 1, то данный ряд сходится.

Ряды Тейлора и Маклорена

 

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где Rnостаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции
f (x) в точке a.

Если
a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена
  • Пример 1 Найти ряд Маклорена для функции .


    Решение.
    Воспользуемся тригонометрическим равенством .
    Поскольку ряд Маклорена для
    cos x имеет вид , то можно записать
         
    Отсюда следует:

         

    Пример 2 Разложить в ряд Тейлора функцию в точке x = 1.


    Решение.
    Вычислим производные:
         
    Видно, что для всех
    n ≥ 3. Для x = 1 получаем значения:
         
    Следовательно, разложение в ряд Тейлора имеет вид
         

    Пример 3 Найти разложение в ряд Маклорена функции e kx, k − действительное число.


    Решение.
    Вычислим производные:
         
    Тогда в точке
    x = 0 получаем
         
    Следовательно, разложение данной функции в ряд Маклорена выражается формулой
         

    Пример 4 Найти разложение в ряд Тейлора кубической функции x3 в точке x = 2.


    Решение.
    Обозначим . Тогда
         
    и далее для всех
    x ≥ 4.
    В точке
    x = 2, соответственно, получаем
         
    Таким образом, разложение в ряд Тейлора имеет вид
         

    Пример 5 Найти разложение в ряд Маклорена функции .

    Решение.
    Пусть , где μ − действительное число, и
    x ≠ −1. Производные будут равны
         
    При
    x = 0, соответственно, получаем
         
    Следовательно, разложение в ряд записывается в виде
         
    Полученное выражение называется биномиальным рядом.

    Пример 6 Найти разложение в ряд Маклорена функции .

    Решение.
    Используя формулу биномиального ряда, найденную в предыдущем примере, и подставляя , получаем
         
    Ограничиваясь первыми 3-мя членами, разложение можно записать в виде      

    Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

    Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

    .

    Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.


    Решение задач на исследование функции Математический анализ