Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 2 Исследовать на сходимость ряд .

Решение.
Применим признак Даламбера.
     
Так как и , то заданный ряд сходится.

Пример 3 Определить, сходится или расходится ряд

     
Решение.
В соответствии с признаком Даламбера, вычислим следующий предел:
     
Разделим числитель и знаменатель на n2:
     
Следовательно, ряд сходится.

Пример 4 Исследовать на сходимость ряд

     
Решение.
Применим признак Даламбера и вычислим соответствующий предел:
     
Поскольку отношение больше 1, то данный ряд будет расходиться.

Пример 5 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Используем радикальный признак Коши.
     
Как видно, данный ряд расходится.

  Пример 6 Исследовать на сходимость ряд .

Решение.
Применяя признак Коши, вычислим следующий предел:

     

Следовательно, ряд расходится.

Пример 7 Исследовать на сходимость следующий ряд:

     
Решение.
Общий член ряда выражается формулой . Применим радиальный признак Коши:
     

Поскольку предел меньше 1, то данный ряд сходится.

Ряды Тейлора и Маклорена

 

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где Rnостаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции
f (x) в точке a.

Если
a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена
  • Пример 1 Найти ряд Маклорена для функции .


    Решение.
    Воспользуемся тригонометрическим равенством .
    Поскольку ряд Маклорена для
    cos x имеет вид , то можно записать
         
    Отсюда следует:

         

    Пример 2 Разложить в ряд Тейлора функцию в точке x = 1.


    Решение.
    Вычислим производные:
         
    Видно, что для всех
    n ≥ 3. Для x = 1 получаем значения:
         
    Следовательно, разложение в ряд Тейлора имеет вид
         

    Пример 3 Найти разложение в ряд Маклорена функции e kx, k − действительное число.


    Решение.
    Вычислим производные:
         
    Тогда в точке
    x = 0 получаем
         
    Следовательно, разложение данной функции в ряд Маклорена выражается формулой
         

    Пример 4 Найти разложение в ряд Тейлора кубической функции x3 в точке x = 2.


    Решение.
    Обозначим . Тогда
         
    и далее для всех
    x ≥ 4.
    В точке
    x = 2, соответственно, получаем
         
    Таким образом, разложение в ряд Тейлора имеет вид
         

    Пример 5 Найти разложение в ряд Маклорена функции .

    Решение.
    Пусть , где μ − действительное число, и
    x ≠ −1. Производные будут равны
         
    При
    x = 0, соответственно, получаем
         
    Следовательно, разложение в ряд записывается в виде
         
    Полученное выражение называется биномиальным рядом.

    Пример 6 Найти разложение в ряд Маклорена функции .

    Решение.
    Используя формулу биномиального ряда, найденную в предыдущем примере, и подставляя , получаем
         
    Ограничиваясь первыми 3-мя членами, разложение можно записать в виде      

    Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

    Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

    .

    Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.


    Решение задач на исследование функции Математический анализ