Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 2 Определить радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Решение.
Вычислим радиус сходимости:
     
Рассмотрим сходимость в конечных точках.
Если x = −1, то мы имеем расходящийся ряд .
Если x = 1, то ряд также расходится.
Следовательно, исходный ряд сходится на открытом интервале (− 1; 1).

Пример 3 Найти радиус и интервал сходимости ряда

     
Решение.
Здесь и . Радиус сходимости будет равен
     
В точке x = −1 мы имеем сходящийся ряд .
При x = 1 получаем расходящийся гармонический ряд .
Таким образом, заданный ряд сходится сходится на полуоткрытом интервале [− 1; 1)

. Пример 4 При каких значениях x ряд сходится?

Решение.
Найдем радиус и интервал сходимости данного ряда.
     
Если x = −1, то получаем ряд
     
который сходится по признаку Лейбница.

Если же x = 1, то мы имеем расходящийся ряд:
     
Таким образом, интервал сходимости заданного ряда равен [− 1; 1).

   Пример 5 Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Решение.
Сделаем замену: u = x − 2. Тогда ряд запишется в виде . Вычислим радиус сходимости:
     
Исследуем сходимость в конечных точках интервала.

Если u = −1, то такой ряд
     
будет сходиться как обощенный гармонический ряд с показателем степени p =2 > 1.

Если u = 1, то получаем знакочередующийся ряд
     
который также сходится по признаку Лейбница.
Таким образом, интервал сходимости для ряда равен [− 1; 1]. Поскольку новая и старая переменные связаны соотношением u = x − 2, то интервал сходимости исходного ряда будет равен
     
Ответ: исходный ряд сходится в интервале [1; 3].

Пример 6 Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

     
Решение.
Общий член данного степенного ряда (начиная с n = 0), выражается формулой
     
Здесь и .
Определим радиус сходимости:
     
Исследуем сходимости в конечных точках интервала.
При получаем
     
Этот ряд сходится по признаку Лейбница.
При , соответственно, имеем ряд
     
Применим для его анализа интегральный признак сходимости:
     

Следовательно, ряд расходится. Поэтому, интервал сходимости исходного ряда равен .

Признак Даламбера. Радикальный признак Коши

Признак Даламбера
Пусть − ряд с положительными членами. Тогда справедливы следующие свойства:
  • Если , то ряд сходится;
  • Если , то ряд расходится;
  • Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае для установления сходимости нужно использовать другие признаки.
  • Радикальный признак Коши
    Снова рассмотрим ряд с положительными членами. Согласно признаку Коши:
  • Если , то ряд сходится;
  • Если , то ряд расходится;
  • Если , то вопрос о сходимости ряда , также как для признака Даламбера, остается открытым.
  •   Пример 1 Исследовать на сходимость ряд .

    Решение.
    Воспользуемся признаком Даламбера.
         
    Следовательно, данный ряд расходится по признаку Даламбера.

    Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

    Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

    .

    Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.


    Решение задач на исследование функции Математический анализ