Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 2 Определить радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Решение.
Вычислим радиус сходимости:
     
Рассмотрим сходимость в конечных точках.
Если x = −1, то мы имеем расходящийся ряд .
Если x = 1, то ряд также расходится.
Следовательно, исходный ряд сходится на открытом интервале (− 1; 1).

Пример 3 Найти радиус и интервал сходимости ряда

     
Решение.
Здесь и . Радиус сходимости будет равен
     
В точке x = −1 мы имеем сходящийся ряд .
При x = 1 получаем расходящийся гармонический ряд .
Таким образом, заданный ряд сходится сходится на полуоткрытом интервале [− 1; 1)

. Пример 4 При каких значениях x ряд сходится?

Решение.
Найдем радиус и интервал сходимости данного ряда.
     
Если x = −1, то получаем ряд
     
который сходится по признаку Лейбница.

Если же x = 1, то мы имеем расходящийся ряд:
     
Таким образом, интервал сходимости заданного ряда равен [− 1; 1).

   Пример 5 Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Решение.
Сделаем замену: u = x − 2. Тогда ряд запишется в виде . Вычислим радиус сходимости:
     
Исследуем сходимость в конечных точках интервала.

Если u = −1, то такой ряд
     
будет сходиться как обощенный гармонический ряд с показателем степени p =2 > 1.

Если u = 1, то получаем знакочередующийся ряд
     
который также сходится по признаку Лейбница.
Таким образом, интервал сходимости для ряда равен [− 1; 1]. Поскольку новая и старая переменные связаны соотношением u = x − 2, то интервал сходимости исходного ряда будет равен
     
Ответ: исходный ряд сходится в интервале [1; 3].

Пример 6 Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

     
Решение.
Общий член данного степенного ряда (начиная с n = 0), выражается формулой
     
Здесь и .
Определим радиус сходимости:
     
Исследуем сходимости в конечных точках интервала.
При получаем
     
Этот ряд сходится по признаку Лейбница.
При , соответственно, имеем ряд
     
Применим для его анализа интегральный признак сходимости:
     

Следовательно, ряд расходится. Поэтому, интервал сходимости исходного ряда равен .

Признак Даламбера. Радикальный признак Коши

Признак Даламбера
Пусть − ряд с положительными членами. Тогда справедливы следующие свойства:
  • Если , то ряд сходится;
  • Если , то ряд расходится;
  • Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае для установления сходимости нужно использовать другие признаки.
  • Радикальный признак Коши
    Снова рассмотрим ряд с положительными членами. Согласно признаку Коши:
  • Если , то ряд сходится;
  • Если , то ряд расходится;
  • Если , то вопрос о сходимости ряда , также как для признака Даламбера, остается открытым.
  •   Пример 1 Исследовать на сходимость ряд .

    Решение.
    Воспользуемся признаком Даламбера.
         
    Следовательно, данный ряд расходится по признаку Даламбера.

    Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

    Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

    .

    Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.


    Решение задач на исследование функции Математический анализ