Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 2 Найти разложение функции в ряд Фурье-Эрмита.


Решение.
Воспользуемся явными выражениями для полиномов Эрмита:
     
Применяя метод неопределенных ов, запишем равенство
     
Подставляя многочлены Эрмита и приравнивая ы при одинаковых степенях x, получаем
     
Следовательно разложение заданной функции в ряд Фурье-Эрмита описывается выражением

     

Пример 3 Найти разложение степенной функции в ряд Фурье-Лагерра.


Решение.
Данное разложение описывается общей формулой
     
Вычислим ы cn.
     
где Г − гамма-функция.

Для n ≥ 1 получаем:
     
Продолжая интегрирование по частям, находим что
     
Если же n > p, то cn = 0.

Следовательно, разложение степенной функции в ряд Фурье-Лагерра имеет вид:
     
Поскольку , то решение можно записать в более компактной форме:
     
Проверим ответ, например, для p = 2. Тогда
     
Подставляя полиномы Лагерра
     
в формулу выше, получаем тождество
     

Пример 4 Найти разложение в ряд Фурье-Лежандра ступенчатой функции

     

Решение.
Разложение в ряд записывается в виде
     
Подставляя явные выражения полиномов Лежандра, получаем
     
Вычислим ы cn. Для n = 0 находим, что P0(x) = 0. Тогда
     
Вычислим теперь значение производной , чтобы найти ы cn при n ≥ 1. Очевидно, что при x = 1 это выражение равно 0 при любых n ≥ 1. Чтобы определить значение производной в точке x = 0, применим биномиальную формулу Ньютона:
     
Отсюда видно, что сумма равна нулю при x = 0 для четных чисел n = 2k, k = 0, 1, 2, 3, .... Для нечетных чисел сумма ряда в точке x = 0 будет равна
     
Мы использовали здесь то обстоятельство, что для n = 2k + 1 и m = k + 1 справедливо равенство при x → 0. Для других значений m и n члены ряда равны нулю. Следовательно,
     
Таким образом, разложение ступенчатой функции в ряд Фурье-Лежандра представляется формулой
     
На рисунке 1 показаны аппроксимации ступенчатой функции данным рядом при n = 5, 10 и 15.
Рис.1, n = 5, n = 10, n = 15

 

Пример 5 Найти разложение функции в ряд Фурье-Чебышева на интервале [− 1, 1].


Решение.
Исходя из общих представлений, можно записать
     
Для вычисления ов cn воспользуемся свойством ортогональности многочленов Чебышева на интервале [− 1, 1] с весовой функцией .
Умножая обе части последнего равенства на и интегрируя на отрезке [− 1, 1], получаем
     
Поскольку функция нечетная, и мы интегрируем на симметричном интервале [− 1, 1], то интеграл в левой части равен 0:
     
Преобразуем правую часть:
     
Умножая в последнем интеграле числитель подынтегрального выражения на , видим, что
     
вследствие ортогональности многочленов Чебышева.

Таким образом,
     
Вычисляя, находим
     
Следовательно, c0 = 0.

Аналогично можно определить ы cn.
Умножим выражение на и проинтегрируем его от −1 до 1. Получаем
     
в силу свойства ортогональности.

Подставим далее явные выражения для Tm(x) и сделаем замену переменной:
     
Пределы интегрирования будут равны
 x = −1 cos t = −1 t = π
 x = 1 cos t = 1 t = 0
Тогда
     
Вычислим полученные интегралы отдельно.
     
Для случая m = 1 имеем
     
Аналогично вычислим второй интеграл:
     
Если m = 3, то получаем
     
Итак, видно, что множество функций ортогонально на интервале [0, π], и ы cm равны
     
Следовательно, разложение в ряд Фурье-Чебышева функции на интервале [− 1, 1] имеет вид:
     

 

Степенные ряды

Определение
Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:
Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x0), то есть ряд вида
где x0 − действительное число.
Интервал и радиус сходимости
Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.


Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:

Пример 1 Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Решение.
Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид . Вычислим радиус сходимости:
     
Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞)

Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

.

Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.


Решение задач на исследование функции Математический анализ