Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 2 Найти разложение функции в ряд Фурье-Эрмита.


Решение.
Воспользуемся явными выражениями для полиномов Эрмита:
     
Применяя метод неопределенных ов, запишем равенство
     
Подставляя многочлены Эрмита и приравнивая ы при одинаковых степенях x, получаем
     
Следовательно разложение заданной функции в ряд Фурье-Эрмита описывается выражением

     

Пример 3 Найти разложение степенной функции в ряд Фурье-Лагерра.


Решение.
Данное разложение описывается общей формулой
     
Вычислим ы cn.
     
где Г − гамма-функция.

Для n ≥ 1 получаем:
     
Продолжая интегрирование по частям, находим что
     
Если же n > p, то cn = 0.

Следовательно, разложение степенной функции в ряд Фурье-Лагерра имеет вид:
     
Поскольку , то решение можно записать в более компактной форме:
     
Проверим ответ, например, для p = 2. Тогда
     
Подставляя полиномы Лагерра
     
в формулу выше, получаем тождество
     

Пример 4 Найти разложение в ряд Фурье-Лежандра ступенчатой функции

     

Решение.
Разложение в ряд записывается в виде
     
Подставляя явные выражения полиномов Лежандра, получаем
     
Вычислим ы cn. Для n = 0 находим, что P0(x) = 0. Тогда
     
Вычислим теперь значение производной , чтобы найти ы cn при n ≥ 1. Очевидно, что при x = 1 это выражение равно 0 при любых n ≥ 1. Чтобы определить значение производной в точке x = 0, применим биномиальную формулу Ньютона:
     
Отсюда видно, что сумма равна нулю при x = 0 для четных чисел n = 2k, k = 0, 1, 2, 3, .... Для нечетных чисел сумма ряда в точке x = 0 будет равна
     
Мы использовали здесь то обстоятельство, что для n = 2k + 1 и m = k + 1 справедливо равенство при x → 0. Для других значений m и n члены ряда равны нулю. Следовательно,
     
Таким образом, разложение ступенчатой функции в ряд Фурье-Лежандра представляется формулой
     
На рисунке 1 показаны аппроксимации ступенчатой функции данным рядом при n = 5, 10 и 15.
Рис.1, n = 5, n = 10, n = 15

 

Пример 5 Найти разложение функции в ряд Фурье-Чебышева на интервале [− 1, 1].


Решение.
Исходя из общих представлений, можно записать
     
Для вычисления ов cn воспользуемся свойством ортогональности многочленов Чебышева на интервале [− 1, 1] с весовой функцией .
Умножая обе части последнего равенства на и интегрируя на отрезке [− 1, 1], получаем
     
Поскольку функция нечетная, и мы интегрируем на симметричном интервале [− 1, 1], то интеграл в левой части равен 0:
     
Преобразуем правую часть:
     
Умножая в последнем интеграле числитель подынтегрального выражения на , видим, что
     
вследствие ортогональности многочленов Чебышева.

Таким образом,
     
Вычисляя, находим
     
Следовательно, c0 = 0.

Аналогично можно определить ы cn.
Умножим выражение на и проинтегрируем его от −1 до 1. Получаем
     
в силу свойства ортогональности.

Подставим далее явные выражения для Tm(x) и сделаем замену переменной:
     
Пределы интегрирования будут равны
 x = −1 cos t = −1 t = π
 x = 1 cos t = 1 t = 0
Тогда
     
Вычислим полученные интегралы отдельно.
     
Для случая m = 1 имеем
     
Аналогично вычислим второй интеграл:
     
Если m = 3, то получаем
     
Итак, видно, что множество функций ортогонально на интервале [0, π], и ы cm равны
     
Следовательно, разложение в ряд Фурье-Чебышева функции на интервале [− 1, 1] имеет вид:
     

 

Степенные ряды

Определение
Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:
Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x0), то есть ряд вида
где x0 − действительное число.
Интервал и радиус сходимости
Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.


Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:

Пример 1 Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Решение.
Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид . Вычислим радиус сходимости:
     
Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞)

Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

.

Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.


Решение задач на исследование функции Математический анализ