Алгебра | |||
Задачи | |||
Физика | |||
Реактор | |||
Пример 1 Определить, сходится или расходится ряд
.
Решение.Поскольку, то выполнен достаточный признак расходимости ряда. Таким образом, ряд
расходится.
Пример 2 Исследовать сходимость ряда
.
Решение.Вычислим предел. Заменяя числовую последовательность на неперрывную функцию и применяя правило Лопиталя, получаем
Следовательно исходный числовой ряд расходится (выполнено достаточное условие расходимости).![]()
Пример 3 Показать, что гармонический ряд
расходится.
Решение.Запишем данный ряд в следующем виде:![]()
Поэтому
. Следовательно, гармонический ряд является расходящимся.
Этот факт впервые доказал средневековый французский экономист и математик Николь Орезм, живший более 600 лет назад.Пример 4 Исследователь сходимость ряда
.
Решение.Данный ряд сходится, поскольку он является суммой двух сходящихся рядов −. Оба этих ряда представляют собой бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем |q| < 1. Тогда
Следовательно, сумма исходного ряда равна![]()
![]()
Пример 5 Исследовать сходимость ряда
.
Решение.Видно, чтоТогда n-частичная сумма будет равна
Вычислим предел Sn при n → ∞:
Следовательно, ряд сходится.![]()
Пример 6 Определить, сходится или расходится ряд
Запишем выражение для n-частичной суммы:
Решение.Легко видеть, что
Тогда
Отсюда находим, что![]()
![]()
Таким образом, заданный ряд сходится к 1.
Пример 7 Исследовать сходимость ряда
.
Решение.Запишем общий член ряда в видеВычислим n-частичную сумму:![]()
![]()
Поскольку
, то данный ряд расходится.
Ортогональные полиномы и обобщенный ряд Фурье
Ортогональные полиномыДва полинома, заданные на интервале[a,b] являются ортогональными, если выполнено условиегде![]()
w(x) − неотрицательная весовая функция.
Множество полиномовpn (x), n = 0, 1, 2,... , где n − степень полиномаpn (x) , образуют систему ортогональных полиномов, если справедливо равенствогде cn − заданные константы, а δmn − символ Кронекера.
Обобщенный ряд ФурьеОбобщенным рядом Фурье для некоторой функции называется ее разложение в ряд на основе системы ортогональных полиномов. Любая кусочно непрерывная функция может быть представлена в виде обобщенного ряда Фурье:Ниже мы рассмотрим 4 вида ортогональных полиномов: полиномы Эрмита, Лагерра, Лежандра и Чебышева.
Полиномы ЭрмитаПолиномы Эрмита ортогональны с весовой функциейна интервале
(− ∞, ∞) :Иногда используется альтернативное определение, в котором весовая функция равна![]()
. Это соглашение распространено в теории вероятностей, в частности, из-за того, что плотность нормального распределения описывается функцией
.
Полиномы ЛагерраПолиномы Лагерраортогональны с весовой функцией
![]()
на интервале (0, ∞) :
Полиномы ЛежандраПолиномы Лежандраортогональны на интервале
[− 1, 1] :
Полиномы ЧебышеваПолиномы Чебышевапервого рода ортогональны на отрезке
[− 1, 1] с весовой функцией:
![]()
Пример 1 Показать, что множество функций
ортогонально на отрезке![]()
[− π, π] .Вычислим следующие интегралы:
Решение.Первый интеграл равен
Если![]()
m ≠ n , тоВ случае![]()
m = n получаемТаким образом,
Аналогично находим, что
Это значит, что последовательность функций
образует ортогональную систему на интервале![]()
[− π, π] .
Вычислить
интеграл где
С – окружность |z|=r,
проходимая в положительном направлении.
Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.
.
Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.
|