Пример 1 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.

Поскольку , то выполнен достаточный признак расходимости ряда. Таким образом, ряд расходится.

Пример 2 Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Вычислим предел . Заменяя числовую последовательность на неперрывную функцию и применяя правило Лопиталя, получаем

     

Следовательно исходный числовой ряд расходится (выполнено достаточное условие расходимости).

Пример 3 Показать, что гармонический ряд расходится.

Решение.

Запишем данный ряд в следующем виде:

     

Поэтому . Следовательно, гармонический ряд является расходящимся.
Этот факт впервые доказал средневековый французский экономист и математик Николь Орезм, живший более 600 лет назад.

  Пример 4 Исследователь сходимость ряда .

Решение.

Данный ряд сходится, поскольку он является суммой двух сходящихся рядов − . Оба этих ряда представляют собой бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем |q| < 1. Тогда

     

Следовательно, сумма исходного ряда равна

     

Пример 5 Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Видно, что

     

Тогда n-частичная сумма будет равна

     

Вычислим предел S_n при n → ∞:

     

Следовательно, ряд сходится.

Пример 6 Определить, сходится или расходится ряд

     

Решение.

Запишем выражение для n-частичной суммы:

     

Легко видеть, что

     

Тогда

     

Отсюда находим, что

     

Таким образом, заданный ряд сходится к 1.

Пример 7 Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Запишем общий член ряда в виде

     

Вычислим n-частичную сумму:

     

Поскольку , то данный ряд расходится.

  Ортогональные полиномы и обобщенный ряд Фурье

Ортогональные полиномы

Два полинома, заданные на интервале [a,b] являются ортогональными, если выполнено условие

где w(x) − неотрицательная весовая функция.

Множество полиномов p_n (x), n = 0, 1, 2,... , где n − степень полинома p_n (x), образуют систему ортогональных полиномов, если справедливо равенство

где c_n − заданные константы, а δ_mn − символ Кронекера.

Обобщенный ряд Фурье

Обобщенным рядом Фурье для некоторой функции называется ее разложение в ряд на основе системы ортогональных полиномов. Любая кусочно непрерывная функция может быть представлена в виде обобщенного ряда Фурье:

Ниже мы рассмотрим 4 вида ортогональных полиномов: полиномы Эрмита, Лагерра, Лежандра и Чебышева.

Полиномы Эрмита

Полиномы Эрмита ортогональны с весовой функцией на интервале (− ∞, ∞):

Иногда используется альтернативное определение, в котором весовая функция равна . Это соглашение распространено в теории вероятностей, в частности, из-за того, что плотность нормального распределения описывается функцией .

Полиномы Лагерра

Полиномы Лагерра ортогональны с весовой функцией на интервале (0, ∞):

Полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра ортогональны на интервале [− 1, 1]:

Полиномы Чебышева

Полиномы Чебышева первого рода ортогональны на отрезке [− 1, 1] с весовой функцией :

Пример 1 Показать, что множество функций

     

ортогонально на отрезке [− π, π].

Решение.

Вычислим следующие интегралы:

     

Первый интеграл равен

     

Если m ≠ n, то

     

В случае m = n получаем

     

Таким образом,

     

Аналогично находим, что

     

Это значит, что последовательность функций

     

образует ортогональную систему на интервале [− π, π].

Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

.

Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.