Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 1 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Поскольку , то выполнен достаточный признак расходимости ряда. Таким образом, ряд расходится.

Пример 2 Исследовать сходимость ряда .

Решение.
Вычислим предел . Заменяя числовую последовательность на неперрывную функцию и применяя правило Лопиталя, получаем
     
Следовательно исходный числовой ряд расходится (выполнено достаточное условие расходимости).

Пример 3 Показать, что гармонический ряд расходится.

Решение.
Запишем данный ряд в следующем виде:
     

Поэтому . Следовательно, гармонический ряд является расходящимся.
Этот факт впервые доказал средневековый французский экономист и математик Николь Орезм, живший более 600 лет назад.

  Пример 4 Исследователь сходимость ряда .

Решение.
Данный ряд сходится, поскольку он является суммой двух сходящихся рядов − . Оба этих ряда представляют собой бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем |q| < 1. Тогда
     
Следовательно, сумма исходного ряда равна
     

Пример 5 Исследовать сходимость ряда .

Решение.
Видно, что
     
Тогда n-частичная сумма будет равна
     
Вычислим предел Sn при n → ∞:
     
Следовательно, ряд сходится.

Пример 6 Определить, сходится или расходится ряд

     

Решение.
Запишем выражение для n-частичной суммы:
     
Легко видеть, что
     
Тогда
     
Отсюда находим, что
     

Таким образом, заданный ряд сходится к 1.

Пример 7 Исследовать сходимость ряда .

Решение.
Запишем общий член ряда в виде
     
Вычислим n-частичную сумму:
     

Поскольку , то данный ряд расходится.

  Ортогональные полиномы и обобщенный ряд Фурье

Ортогональные полиномы
Два полинома, заданные на интервале [a,b] являются ортогональными, если выполнено условие
где w(x) − неотрицательная весовая функция.

Множество полиномов pn (x), n = 0, 1, 2,... , где n − степень полинома pn (x), образуют систему ортогональных полиномов, если справедливо равенство
где cn − заданные константы, а δmnсимвол Кронекера.
Обобщенный ряд Фурье
Обобщенным рядом Фурье для некоторой функции называется ее разложение в ряд на основе системы ортогональных полиномов. Любая кусочно непрерывная функция может быть представлена в виде обобщенного ряда Фурье:
Ниже мы рассмотрим 4 вида ортогональных полиномов: полиномы Эрмита, Лагерра, Лежандра и Чебышева.
Полиномы Эрмита
Полиномы Эрмита ортогональны с весовой функцией на интервале (− ∞, ∞):
Иногда используется альтернативное определение, в котором весовая функция равна . Это соглашение распространено в теории вероятностей, в частности, из-за того, что плотность нормального распределения описывается функцией .
Полиномы Лагерра
Полиномы Лагерра ортогональны с весовой функцией на интервале (0, ∞):
Полиномы Лежандра
Полиномы Лежандра ортогональны на интервале [− 1, 1]:
Полиномы Чебышева
Полиномы Чебышева первого рода ортогональны на отрезке [− 1, 1] с весовой функцией :

Пример 1 Показать, что множество функций

     
ортогонально на отрезке [− π, π].

Решение.
Вычислим следующие интегралы:
     
Первый интеграл равен
     
Если m ≠ n, то
     
В случае m = n получаем
     
Таким образом,
     
Аналогично находим, что
     
Это значит, что последовательность функций
     
образует ортогональную систему на интервале [− π, π].

Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

.

Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.


Решение задач на исследование функции Математический анализ