Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 2 Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции , заданной в интервале [−1, 1].
Решение.

Здесь полупериод равен L = 1. Поэтому c0 равен
     
Для n ≠ 0 получаем
     
Дважды интегрируя по частям, находим
     
Подставляя sin nπ = 0 и cos nπ = (−1)n, получаем компактное выражение для коэффициентов cn:
     
Таким образом, разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид
     
Учитывая, что , можно окончательно записать
     

График данной функции и ее аппроксимации Фурье приведены ни рисунке 2 (выше).

   Пример 3 Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции

     

Решение.
Применим формулы
     
В результате функция принимает вид
     
Разложим последнее выражение на сумму простых рациональных дробей.
     
Определим коэффициенты A,B:
     
В результате функцию f (x) можно записать в виде
     
При этом
     
И такой же результат справедлив для сопряженного выражения:
     
Представляя дроби в виде степенных рядов, получаем
     
Таким образом, разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид
     
Поскольку , то окончательный ответ будет

     

   Разложение в ряд Фурье непериодических функций

Разложение в ряд Фурье в интервале [−L, L]
Рассмотрим кусочно-непрерывную f (x), заданную в интервале [− L, L]. Используя подстановку , преобразуем ее в функцию
определенную и интегрируемую в интервале [−π, π]. Разложение в ряд Фурье для функции F (y) имеет вид
Коэффициенты Фурье для данной функции определяются формулами
Возвращаясь к первоначальным переменным, то есть полагая , получим следующие выражения для ряда Фурье исходной функции f (x):
где
Разложение в ряд Фурье в интервале [a,b]
Если функция f (x) определена в интервале [a,b], то ее разложение в ряд Фурье определяется той же самой формулой
где , а коэффициенты вычисляются следующим образом:
Четные и нечетные функции
Разложение в ряд Фурье четной функции, определенной в интервале [− L, L], имеет вид
где
Разложение в ряд Фурье нечетной функции, заданной в интервале [− L, L], выражается формулой
где коэффициенты Фурье равны

  Пример 1 Найти разложение в ряд Фурье функции

     

Решение.
Определим коэффициенты разложения:
     
Можно заметить, что для четных n = 2k, k = 1, 2, 3, ...
     
Для нечетных n = 2k − 1, k = 1, 2, 3, ...
     
Следовательно, разложение в ряд Фурье имеет вид (рисунок 1)
     
Рис.1, A = 2, L = 2, n = 2, n = 10
Рис.2, n = 5, n = 10

Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

.

Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.


Решение задач на исследование функции Математический анализ