Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 2 Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции , заданной в интервале [−1, 1].
Решение.

Здесь полупериод равен L = 1. Поэтому c0 равен
     
Для n ≠ 0 получаем
     
Дважды интегрируя по частям, находим
     
Подставляя sin nπ = 0 и cos nπ = (−1)n, получаем компактное выражение для коэффициентов cn:
     
Таким образом, разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид
     
Учитывая, что , можно окончательно записать
     

График данной функции и ее аппроксимации Фурье приведены ни рисунке 2 (выше).

   Пример 3 Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции

     

Решение.
Применим формулы
     
В результате функция принимает вид
     
Разложим последнее выражение на сумму простых рациональных дробей.
     
Определим коэффициенты A,B:
     
В результате функцию f (x) можно записать в виде
     
При этом
     
И такой же результат справедлив для сопряженного выражения:
     
Представляя дроби в виде степенных рядов, получаем
     
Таким образом, разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид
     
Поскольку , то окончательный ответ будет

     

   Разложение в ряд Фурье непериодических функций

Разложение в ряд Фурье в интервале [−L, L]
Рассмотрим кусочно-непрерывную f (x), заданную в интервале [− L, L]. Используя подстановку , преобразуем ее в функцию
определенную и интегрируемую в интервале [−π, π]. Разложение в ряд Фурье для функции F (y) имеет вид
Коэффициенты Фурье для данной функции определяются формулами
Возвращаясь к первоначальным переменным, то есть полагая , получим следующие выражения для ряда Фурье исходной функции f (x):
где
Разложение в ряд Фурье в интервале [a,b]
Если функция f (x) определена в интервале [a,b], то ее разложение в ряд Фурье определяется той же самой формулой
где , а коэффициенты вычисляются следующим образом:
Четные и нечетные функции
Разложение в ряд Фурье четной функции, определенной в интервале [− L, L], имеет вид
где
Разложение в ряд Фурье нечетной функции, заданной в интервале [− L, L], выражается формулой
где коэффициенты Фурье равны

  Пример 1 Найти разложение в ряд Фурье функции

     

Решение.
Определим коэффициенты разложения:
     
Можно заметить, что для четных n = 2k, k = 1, 2, 3, ...
     
Для нечетных n = 2k − 1, k = 1, 2, 3, ...
     
Следовательно, разложение в ряд Фурье имеет вид (рисунок 1)
     
Рис.1, A = 2, L = 2, n = 2, n = 10
Рис.2, n = 5, n = 10

Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

.

Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.


Решение задач на исследование функции Математический анализ