Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

  Пример 1 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Легко видеть, что для n > 1. Применяя далее признак сравнения, находим
     
Поскольку ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени p = 2

, то исходный ряд также сходится.

  Пример 2 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Воспользуемся признаком сравнения. Заметим, что для всех натуральных n. Ряд является обобщенным гармоническим рядом с p = 2 > 1

и, следовательно, сходится.

Таким образом, исходный ряд сходится по признаку сравнения.

Пример 3 Исследовать сходимость ряда .

Решение.
Можно заметить, что для всех натуральных n. Тогда
     
Поскольку − гармонический ряд, то он расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится по признаку сравнения.

Пример 4 Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.
Воспользуемся предельным признаком сравнения. Будем сравнивать заданный ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Тогда
     
Разделим числитель и знаменатель на n3:
     
Следовательно, данный ряд сходится в соответствии с предельным признаком сравнения.

  Пример 5 Исследовать ряд на сходимость.

Решение.
Будем сравнивать наш ряд со сходящимся рядом . Получаем
     

Следовательно данный ряд сходится согласно предельному признаку сравнения.

   Пример 6 Исследовать ряд на сходимость.

Решение.
Применяем предельный признак сравнения. Сравним с расходящимся гармоническим рядом . Вычислим предел отношения соответствующих членов обоих рядов:
     
Таким образом, исходный ряд расходится.

Пример 7 Определить, сходится или расходится ряд

     
Решение.
Используем предельный признак сравнения. Будем сравнивать со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Находим значение предела:
     

Следовательно, ряд сходится.

Комплексная форма рядов Фурье

Пусть функция f (x) определена в интервале [−π, π]. Применяя формулы Эйлера

можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме:
Мы использовали здесь следующие обозначения:
Коэффициенты cn называются комплексными коэффициентами Фурье. Они определяются формулами
Если нужно построить продолжение функции f (x), имеюшей произвольный период 2L, то соответствующее выражение в комплексной форме имеет вид:
где

Комплексная форма ряда Фурье алгебраически проще и более симметрична. Поэтому, она часто используется в физике и прикладных расчетах.

Пример 1 Используя комплексную форму записи, найти разложение в ряд Фурье функции

     

Решение.
Вычислим коэффициенты c0 и cn (при n ≠ 0):
     
Если n = 2k, то .
Если n = 2k − 1, то .
Следовательно, разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид:
     
Данный ряд можно преобразовать и записать в действительных переменных. Обозначим: . Тогда
     
График функции и ее ряд Фурье при n = 5 и n = 50 показаны на рисунке 1.
Рис.1, n = 5, n = 50
Рис.2, n = 2, n = 5

Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

.

Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.


Решение задач на исследование функции Математический анализ