Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах http://kuku-shanel.com/nedorogie-zimnie-puhoviki-dlya-jenschin.html

Вычислить сумму ряда . Указание: применить формулу Парсеваля к функции f (x) = x.

 


Решение.
Разложение в ряд Фурье функции f (x) = x в интервале [−π, π] имеет вид
     


Здесь коэффициенты Фурье имеют следующие значения: (поскольку функция f (x) = x нечетная) и . Используя формулу Парсеваля. получаем
     
Отметим, что называется дзета-функцией Римана ζ (s). Таким образом, мы доказали, что .
Применить формулу Парсеваля к функции .

Решение.
В примере 4 на странице Определение ряда Фурье и типичные примеры было найдено разложение функции в ряд Фурье в интервале [−π, π]:
     
где
     
Записывая равенство Парсеваля для этой функции, получаем
     
Ряд известен как дзета-функция Римана ζ (s). Следовательно,
     

Применяя формулу Парсеваля к функции

     
найти суммы рядов .

Решение.
Разложение данной функции в ряд Фурье имеет вид (попробуйте найти это самостоятельно):
     
Коэффициенты Фурье в этом разложении равны
     
Применяя к данной функции равенство Парсеваля
     
получаем
     
Несложно также найти и сумму ряда :
     
Здесь (смотрите пример 1 выше). Следовательно,

     

Вычислить сумму ряда .


Решение.
В предыдущей задаче было найдено, что
     
Полагая , получаем
     
Можно заметить, что
     
Следовательно,
     
Тогда сумма ряда равна
     

Сходимость рядов. Признаки сравнения

Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Признаки сравнения рядов
Даны два ряда и − такие, что для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:
  • Если сходится, то также сходится;
  • Если расходится, то также расходится.
  • Предельные признаки сравнения рядов
    Пусть даны два ряда и , у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:
    Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1

    Вычислить интеграл где С – окружность |z|=r, проходимая в положительном направлении.

    Решение. ¥ является изолированной особой точкой. Для вычисления вычета в бесконечности воспользуемся разложением в ряд Лорана.

    .

    Не нулевой коэффициент при –1 степени формируется из индексов, удовлетворяющих условию 2k+2m-2=1, k+m=3/2. Таких индексов нет, следовательно, интеграл равен нулю.


    Решение задач на исследование функции Математический анализ