Часы-браслет Pandora    + серьги Dior

Часы-браслет Pandora + серьги Dior

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Математический анализ Интеграл Ряды Вычислить интеграл Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Тройные интегралы в декартовых координатах в цилиндрических координатах в сферических координатах

Пример 2 Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) − периодическая функция.

Решение.
Представим функцию f (x) в правой части уравнения в виде ряда Фурье:
     
Здесь комплексные коэффициенты Фурье определяются формулой
     
Предполагая, что решение уравнения представляется рядом Фурье
     
найдем выражение для производной:
     
Подставляя это в исходное дифференциальное уравнение, получаем
     
Поскольку данное равенство справедливо при всех значениях n, то получаем следующее соотношение:
     
Здесь cn и k − известные числа. Следовательно, решение выражается формулой

     

 

Пример 3 Используя разложение в ряд Фурье, решить одномерное уравнение теплопроводности

     
с граничными условиями Дирихле: Т = Т1 при x = 0, и Т = Т2 при x = L. Начальное распределение температуры задано функцией .

Решение.
Сначала мы определим стационарное распределение температуры при заданных граничных условиях.
Рассмотрим уравнение . Интегрируя его, найдем общее решение:
     
Коэффициенты C1 и C2 найдем из граничных условий: Т0 (0) = Т1, Т0 (L) = Т2. В результате получаем
     
Построим теперь решение задачи, зависящее от времени.
Введем новую переменную
     
Граничные условия для y (x,t) принимают вид:
     
а начальное распределение записывается в форме
     
Принимая во внимание новые граничные условия, будет естественным искать решение в виде разложения по нечетным гармоникам. Тогда
     
где коэффициенты bn находятся по формуле
     
(Мы предполагаем, что эти коэффициенты известны.)

Общее решение будем искать в виде ряда с коэффициентами cn (t), зависящими от времени:
     
Очевидно, что граничные условия y (0,t) = 0 и y (L,t) = 0 выполняются при любых значениях времени t > 0.
Начальные условия для cn (t) имеют вид
     
Подставим эти выражения в уравнение теплопроводности . Тогда
     
Умножим обе части последнего выражения на и проинтегрируем на интервале [0, L], используя соотношения ортогональности
     
В результате получаем
     
или
     
Решая полученное обыкновенное дифференциальное уравнение, находим cn (t):
     
где − постоянная, зависящая от начальных условий.
Учитывая, что cn (0) = bn, получаем решение для cn (t) в форме
     
Следовательно, окончательное решение уравнения теплопроводности выражается формулой
     

Пример 4 Найти решение волнового уравнения

     
для струны с закрепленными концами с граничными условиями u (0,t) = u (L,t) = 0. Начальное смещение и скорость заданы в виде
     
где f (x) и g (x) − некоторые функции, которые считаются известными в данной задаче. При этом должны быть выполнены соотношения
     

Решение.
Будем искать все периодические решения задачи, в которых разделяются переменные x и t, т.е. в форме
     
Тогда
     
Подставляя это в волновое уравнение, получаем
     
В последней записи функция в левой части зависит только от x, а функция в правой части − только от t. Это возможно, если только обе части уравнения равны некоторой константе. Следовательно,
     
Если константа α положительная, то полагая , получим уравнение
     
с общим решением
     
Такое решение не содержит периодических функций по t. Поэтому рассмотрим вариант, когда константа α отрицательна: . В этом случае волновое уравнение расщепляется на два обыкновенных дифференциальных уравнения:
     
Решая первое уравнение, находим
     
где C1 и C2 − постоянные интегрирования.
Учитывая граничные условия, получаем
     
Тогда
     
Полагая C2 ≠ 0 (в противном случае мы бы получили тривиальное решение X ≡ 0), находим, что (n − целое число).

Следовательно, так называемые собственные значения равны
     
Соответствующие им собственные функции записываются в виде
     
При λ = λn второе уравнение имеет решение
     
Таким образом, можно записать, что
     
Здесь n − целое число, а An и Bn − постоянные, зависящие от начальных условий.

Теперь мы можем построить общее решение волнового уравнения как линейную комбинацию частных решений:
     
Предполагая, что этот ряд дифференцируемый, запишем выражение для производной:
     
Теперь из начальных условий определим постоянные An и Bn:
     
Видно, что функции f (x) и f (x) следует разложить по ортогональной системе . По формулам для коэффициентов Фурье получаем
     
Таким образом, решение волнового уравнения с заданными граничными и начальными условиями имеет вид
     
где коэффициенты An и Bn определяются приведенными выше формулами.

Первый член ряда u1(x,t) называется основной частотой, остальные члены un(x,t)обертонами или гармониками. Период и частота гармоники определяются формулами
     

   Пример 5 Найти решение уравнения Лапласа

     
в круге c граничным условием
     

Решение.
Будем искать решение в полярных координатах (r,φ). Взаимосвязь между декартовыми и полярными координатами определяется стандартными формулами (рисунок 1):
     
Рис.1
Решением задачи будет функция u(r,φ), зависящая от переменных r и φ. Очевидно, u(r,φ) является 2π-периодической функцией по φ. При этом граничная функция f (x,y) преобразуется в функцию f (φ), зависящую только от переменной φ.

Уравнение Лапласа в полярных координатах записывается в виде
     
Будем искать решение u(r,φ) в виде ряда Фурье
     
где коэффициенты Фурье an (r) и bn (r) зависят от радиуса r.

Предполагая, что функция u(r,φ) является достаточно гладкой и допускает двойное дифференцирование по r и φ, получаем следующие выражения для производных:
     
Подставляя это в уравнение Лапласа, находим
     
Поскольку это выражение равно нулю при всех r и φ, то приходим к выводу, что
     
Таким образом, мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений вместо исходного уравнения в частных производных (этот метод был предложен Жозефом Фурье в 1822). Важно, что каждое уравнение в системе решается независимо.

Убедимся, что полученным уравнениям удовлетворяют функции вида
     
Здесь постоянные an (1) и bn (1) находятся из начальных условий к полученным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Чтобы сформулировать эти начальные условия, разложим в ряд Фурье функцию , определяющую граничные условия для уравнения Лапласа в полярных координатах. В результате находим
     
Приравнивая коэффициенты слева и справа при членах cos и sin , получаем соотношения
     
Следовательно, система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет решение
     
Тогда решение уравнения Лапласа записывается в виде
     
где αn, βn − известные числа, зависящие от граничных условий.

Полученный ответ можно упростить. Подставим явные выражения для коэффициентов αn, βn:
     
Заметим, что
     
Поэтому
     
Используя формулу , можно показать, что выражение в квадратных скобках равно сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
     
Тогда решение будет определяться формулой
     

Полученное выражение называется интегралом Пуассона для единичного круга.

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

image104 (527 bytes)
где image105 (86 bytes)  - точка, произвольно выбранная на дуге  image111 (99 bytes) разбиения кривой,
image112 (101 bytes) -  приращение аргумента функции на этом участке разбиения,
image106 (240 bytes) -  шаг разбиения,
image113 (131 bytes)- длина хорды, соединяющей концы дуги image111 (99 bytes),
кривая l разбивается произвольным образом на n частей image111 (99 bytes), k=1,2...n.


Решение задач на исследование функции Математический анализ