Математический анализ

Детали машин принципы проектирования
Основы конструирования
Начертательная геометрия
Аксонометрия и проекции
Теория радиосигналов
Расчет электротехнических цепей
Электротехника и электроника
Математика задачи
Математика функции
Линейная алгебра
Дифференциальные уравнения
Теория функции комплексного переменного
Решение задач типового задания из учебника Кузнецова
Математический анализ задачи
Вычислить интеграл
Решение рядов
Дифференциалы от функции нескольких переменных
Лабораторные физика
Физика атома
Цепная ядерная реакция деления
Проблемы развития атомной энергетики
Биологическое действие
ионизирующих излучений
Квантовая механика
Электромагнетизм
Закон полного тока для магнитного поля
Магнитное поле в веществе
Явление самоиндукции
Теория Максвелла для
электромагнитного поля
Физические основы механики
Закон сохранения импульса
Принцип реактивного движения
Кинетическая и потенциальная энергии
Колебательное движение
Волновые процессы
Изучение движения маятника Максвела
Молекулярная физика
Барометрическая формула
Второе начало термодинамики
Кинетическая теория газа
Поверхностноенатяжение жидкости
История искусства
Русское искусство
Античный театр Древней Греции
Театр эпохи Возрождения
Театр эпохи Возрождения
Балетный театр
История искусства средних веков
Романское искусство
Искусство Южной Италии
Готическое искусство
Оптика
Оптическая физика
Электричество
Постоянный ток
Быстрый реактор
Курсовой проект реактор ВВЭР
Курсовой проект «Электрическая часть
электростанций и подстанций»
Действие радиации на человека
и окружающую среду
Лабораторные работы по информатике
Информационные технологии
Технологии защиты информации

Математический анализ – совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Основателями этой дисциплины являются английский учёный И. Ньютон (1643–1727) и немецкий учёный Г. Лейбниц (1646–1716). Дальнейшее развитие математический анализ получил в работах таких известных математиков, как Я. Бернулли (1654–1705), И. Бернулли (1667–1748), Б. Тейлор (1685–1731), Л. Эйлер (1707–1783), Ж. Лагранж (1736–1813), Ж. Фурье (1768–1830), О. Коши (1789–1857), К. Якоби (1804–1851), К. Вейерштрасс (1815–1897), Б. Риман (1826–1866), М. Жордан (1838–1922), Г. Кантор (1845–1918) и многих других. Классическая часть современного математического анализа окончательно сформировалась к началу XX столетия. Эта часть анализа преподаётся на первых двух курсах университетов и входит (целиком или в значительной части) в программы всех технических вузов у нас в стране и за рубежом.

Пределы и непрерывность функции

Теоремы о пределах Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x)±g(x),причём .

Дифференциальное исчисление функции одной перменной Примеры. Найти производную функции     у = lnarctgx

Производная степенной функции с любым действительным показателем Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Примеры.    Найти у''' для функции y = cos2x.

Логарифмическое дифференцирование Функция вида y = [u(x)]v(x) называется степенно – показательной. Для вычисления ее производной (при условии, что у' существует), нужно прологарифмировать функцию по любому основанию (обычно по основанию е). Затем нужно вычислить производную полученной неявной функции. Пример. Найти производную функции y = (sinx)x

Применение производной к исследованию функций Интервалы монотонности. Экстремумы Выпуклость и вогнутость графика функции Точки перегиба Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Пример. Исследовать функцию y = x-2arctg x и построить ее график.

 

Лекция Числовые множества. Мощность множеств Расширенная числовая прямая Известно что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимнооднозначное соответствие

Ограниченные и неограниченные множества Введём ряд нужных в дальнейшем понятий и изучим некоторые свойства числовых множеств.

Предел последовательности Примеры. Выписать четыре первых члена следующих последовательностей  и сделать предположение об их возможных пределах.

Предел монотонной ограниченной последовательности Переходим к изучению вопроса о том, какими свойствами должна обладать последовательность, чтобы у неё существовал предел. Прежде чем сформулировать окончательный ответ, рассмотрим один простой и важный класс последовательностей, для которых этот вопрос решается легко.

Критерий сходимости Больцано–Коши Общий критерий сходимости последовательности принадлежит чешскому математику Больцано и французскому математику Коши

Пример. Пусть pn – произвольная последовательность чисел, стремящаяся к +¥, и qn – произвольная последовательность чисел, стремящаяся к –¥. Доказать, что .

Первое определение предела функции Пример. Вычислить предел функции Дирихле в точке x0=0 по множествам .

Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши.

Существование предела монотонной функции Вопрос о существовании предела функции особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной последовательности.

Ограниченность непрерывных на отрезке функций Пример. Показать, что на интервале непрерывная функция может быть неограниченной и не достигать верхней (нижней) грани.

Непрерывность функций Используя определение непрерывности в терминах приращений, доказать, что функция непрерывна в произвольной точке x = a.

Определение предела функции Используя - определение предела, показать что .

Точки разрыва функции Пример Исследовать функцию на непрерывность.

Геометрическая прогрессия Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...

Раскрытие неопределенностей Вычислить предел .

Бесконечные последовательности Пример Записать общую формулу для n-го члена an числовой последовательности и определить ее предел (если он существует).    

Правило Лопиталя Вычислить предел . Решение. Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:

Свойства пределов Найти предел .

Определение производной функции Связь между дифференцируемостью и существованием производной функции

Геометрический и физический смысл производной и дифференциала Пример. Найти мгновенную скорость материальной точки, закон движения которой описывается уравнением , в момент времени t0 = 2.

Условие существования производственной сложной функции Пример. Вычислить производную функции .

Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически Пример. Вычислить первую и вторую производные от функции .

О правилах Лопиталя Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил Лопиталя, мы изложим в этом пункте.

Начертательная геометрия в конструкторской работе